Question

9．如圖1所示是游樂場(chǎng)中過山車的實(shí)物圖片，可將過山車的一部分運(yùn)動(dòng)過程簡(jiǎn)化為圖2的模型圖．模型圖中光滑圓形軌道的半徑R=8.0m，該光滑圓形軌道固定在傾角為θ=37^o斜軌道面上的Q點(diǎn)，圓形軌道的最高點(diǎn)A與傾斜軌道上的P點(diǎn)平齊，圓形軌道與斜軌道之間圓滑連接．現(xiàn)使小車（視作質(zhì)點(diǎn)）從P點(diǎn)以一定的初速度沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，小車經(jīng)過P點(diǎn)的初速度v₀=12m/s．不計(jì)空氣阻力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．若小車恰好能通過圓形軌道的最高點(diǎn)A處，則：

（1）小車在A點(diǎn)的速度為多大？
（2）小車在圓形軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)軌道的最大壓力為重力的多少倍？
（3）斜軌道面與小車間的摩擦力為小車對(duì)軌道壓力的多少倍？

Answer 1

分析 （1）小車恰 好通過最高點(diǎn)，故重力充當(dāng)向心力，則可求得A點(diǎn)的速度；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律可求得B點(diǎn)的速度，再根據(jù)向心力公式即可求得B點(diǎn)的支持力，再由牛頓第三定律可求得壓力大小；
（3）由幾何關(guān)系可求得PQ間的距離，對(duì)PA過程，由動(dòng)能定理列式即可求得摩擦力大小，由力的合成和分解可求得壓力，則可求得摩擦力與壓力的關(guān)系．

解答 解：
（1）設(shè)小車經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)的最小速度為v_A，根據(jù)牛頓第二定律有
mg=$\frac{m{v}_{A}^{2}}{R}$
v_A=4$\sqrt{5}$m/s
（2）小車從Q點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)的過程中機(jī)械能守恒，在圓周的最低點(diǎn)（設(shè)為B點(diǎn)）時(shí)，對(duì)軌道的壓力最大，設(shè)小車經(jīng)過此位置的速度為v_B，依據(jù)機(jī)械能守恒定律，則有
$\frac{1}{2}$mv_A²+2mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²
設(shè)軌道在最低點(diǎn)給小車的支持力為F_B，根據(jù)牛頓第二定律有
F_B-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得F_B=6mg
依據(jù)牛頓第三定律可知，球?qū)�軌道的作用力F_B'=6mg
即小車在圓形軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)軌道的最大壓力為重力的6倍．
（3）設(shè)PQ間距離為L(zhǎng)，L=$\frac{R（1+cosθ）}{sinθ}$
設(shè)小車從P點(diǎn)到A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中受到的摩擦力為f，由動(dòng)能定理得
-fL=$\frac{1}{2}$mv_A²-$\frac{1}{2}$mv₀²
小車對(duì)軌道壓力F_壓=mgcosθ
解得$\frac{f}{{F}_{壓}}$=$\frac{1}{6}$
答：（1）小車在A點(diǎn)的速度為4$\sqrt{5}$m/s；
（2）小車在圓形軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)軌道的最大壓力為重力的6倍；
（3）斜軌道面與小車間的摩擦力為小車對(duì)軌道壓力的$\frac{1}{6}$倍．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了牛頓第二定律和動(dòng)能定理，關(guān)鍵是理清運(yùn)動(dòng)的過程，運(yùn)用合適的規(guī)律進(jìn)行求解；同時(shí)注意應(yīng)用最高點(diǎn)的臨界條件，明確向心力公式的正確應(yīng)用．