Question

17．2014年9月24日，“曼加里安”號火星車成功進入火星軌道，印度成為了首個第一次嘗試探索火星就成功的國家．火星表面特征非常接近地球，適合人類居�。�已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度g，地球的質(zhì)量為火星質(zhì)量的10倍，地球的半徑為火星半徑的2倍，求：
（1）火星表面的重力加速度g_火；
（2）求火星的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)重力與萬有引力相等，由星球質(zhì)量和半徑關(guān)系求得火星表面的重力加速度；
（2）根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力求得火星表面的第一宇宙速度．

解答 解：（1）設地球質(zhì)量為M，半徑為R，由星球表面重力和萬有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
重力加速度
g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
所以可得火星表面的重力加速度${g}_{火}=G\frac{{M}_{火}}{{R}_{火}^{2}}=G\frac{\frac{1}{10}M}{（\frac{1}{2}R）^{2}}=\frac{2}{5}G\frac{M}{{R}^{2}}=\frac{2}{5}g$
（2）火星表面的衛(wèi)星萬有引力提供向心力
$m{g}_{火}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{火}}$
可得火星的第一宇宙速度$v=\sqrt{{g}_{火}{R}_{火}}=\sqrt{\frac{2}{5}g×\frac{1}{2}R}$=$\sqrt{\frac{gR}{5}}$
答：（1）火星表面的重力加速度g_火為$\frac{2}{5}g$；
（2）求火星的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{gR}{5}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵是能由萬有引力與重力相等求得重力加速度與星球質(zhì)量和半徑的關(guān)系，不難屬于基礎(chǔ)題．