Question

16．城市中為了解決交通問(wèn)題，修建了許多立交橋，如圖所示橋面為圓弧形的立交橋AB，橫跨在水平路面上，長(zhǎng)為L(zhǎng)=200m，橋高h(yuǎn)=20m．認(rèn)為橋的兩端A、B與水平路面的連接處是平滑的．一輛質(zhì)量m=1040kg的小汽車(chē)沖上圓弧形立交橋，到達(dá)橋頂時(shí)的速度為10m/s，試計(jì)算：（g取10m/s²）

（1）小汽車(chē)在橋頂處對(duì)橋面的壓力大小
（2）若小車(chē)在橋頂處的速度為v₁=$10\sqrt{26}$m/s時(shí)，小汽車(chē)將如何運(yùn)動(dòng)．

Answer 1

分析 （1）已知橋長(zhǎng)為L(zhǎng)=200m，橋高h(yuǎn)=20m，根據(jù)幾何知識(shí)求出橋面圓弧的半徑．以汽車(chē)為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律求出橋面對(duì)汽車(chē)的支持力，再由牛頓第三定律得到汽車(chē)在橋頂處對(duì)橋面的壓力的大�。�
（2）當(dāng)汽車(chē)恰好飛離橋面頂點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律此時(shí)的臨界速度，將v₁=$10\sqrt{26}$m/s與臨界速度比較，來(lái)分析汽車(chē)的運(yùn)動(dòng)情況．

解答 解：（1）設(shè)橋面圓弧的半徑為R．
由幾何關(guān)系得：R²=（R-h）²+（$\frac{1}{2}$L）²
解得：R=260m
以汽車(chē)為研究對(duì)象，由牛頓第二定律得：
  mg-F_N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得：F_N=10000N
由牛頓第三定律得車(chē)對(duì)橋面的壓力為：F_N′=F_N=10000N
（2）假設(shè)在橋頂壓力為零，則有：mg=m $\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：v₀=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×260}$=10$\sqrt{26}$m/s
而v₁=$10\sqrt{26}$m/s，此時(shí)車(chē)對(duì)橋頂沒(méi)有壓力，所以車(chē)將做平拋運(yùn)動(dòng)．
答：
（1）小汽車(chē)在橋頂處對(duì)橋面的壓力的大小為10000N．
（2）若小車(chē)在橋頂處的速度為v₁=$10\sqrt{26}$m/s時(shí)，車(chē)將做平拋運(yùn)動(dòng)．

點(diǎn)評(píng) 汽車(chē)通過(guò)圓弧形橋面時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)，由重力和支持力的合力提供汽車(chē)的向心力．