Question

12．如圖所示，木塊A的質(zhì)量為m，木塊B的質(zhì)量為km（k為常數(shù)），A，B由輕彈簧拴接，置于光滑水平面上，彈簧處于自然狀態(tài)，一質(zhì)量為m的木塊C靜止在木塊A的左側(cè)斜面上，木塊C與斜面的動摩擦因數(shù)為μ=tanθ，斜面底端與木塊A的距離足夠長，現(xiàn)給木塊C以初速度v₀使之沿斜面向下運動，與A碰撞后，與A一起壓縮彈簧，但與A不粘連．已知木塊C返回斜面底端時的速度為$\frac{{v}_{0}}{2}$，最終靜止在斜面上某處．設(shè)木塊C的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，不計木塊經(jīng)過斜面與平面連接處的能量損失，求：
（1）木塊C最終靜止時距離斜面底端的距離；
（2）彈簧彈性勢能的最大值及木塊AC分離時木塊B的速度；
（3）如果在木塊AC分離以后的過程中，木塊B為速度為零的時刻，確定k的值．

Answer 1

分析 （1）木塊C返回斜面底端時的速度為$\frac{{v}_{0}}{2}$，對其上滑過程根據(jù)動能定理列式求解即可；
（2）木塊C與斜面的動摩擦因數(shù)為μ=tanθ，木塊C下滑過程中是勻速直線運動；C與A碰撞過程，C與A系統(tǒng)動量守恒，根據(jù)動量守恒定律列式求解碰撞后的共同速度；此后彈簧被壓縮，B加速，A與C減速，當(dāng)A、B、C速度相等時，彈簧被壓縮到最大，彈性勢能最大，根據(jù)動量守恒定律列式求解共同速度，根據(jù)能量守恒定律求解最大彈性勢能；此后AC繼續(xù)減速，B繼續(xù)加速，當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時，A與C分離，根據(jù)能量守恒定律和動量守恒定律列式后聯(lián)立求解，即可得到塊A、C分離時木塊B的速度；
（3）在木塊A、C分離以后的過程中，A、B系統(tǒng)動量守恒，如果木塊B的速度為零，根據(jù)動量守恒定律列式求解A的速度，結(jié)合能量守恒定律列式求解即可．

解答 解：（1）由于μ=tanθ，故木塊C下滑過程中，滑動摩擦力與重力的下滑分力平衡，做勻速直線運動；
故與A碰撞前的速度為v₀，反彈速度大小為$\frac{1}{2}{v}_{0}$，上滑過程，根據(jù)動能定理，有：
-（f+mgsinθ）L=0-$\frac{1}{2}m（\frac{{v}_{0}}{2}）^{2}$
其中：
f=μmgcosθ=mgsinθ
故：L=$\frac{{v}_{0}^{2}}{16gsinθ}$
（2）C與A碰撞過程，C與A系統(tǒng)動量守恒，C與A碰撞過程時間極短，B的速度為零不變；
故：mv₀=（m+m）v₁
解得：${v}_{1}=\frac{{v}_{0}}{2}$
當(dāng)AB速度相等時，彈簧的彈性勢能最大，根據(jù)動量守恒定律，有：
mv₀=（m+m+km）v
解得：v=$\frac{{v}_{0}}{2+k}$；
故最大彈性勢能為：
E_pm=$\frac{1}{2}（2m）{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}（2m+km）{v}^{2}$=$\frac{k}{4（2+k）}m{v}_{0}^{2}$
當(dāng)彈簧第一次恢復(fù)原長時，AC分離，根據(jù)動量守恒定律，有：
mv₀=m（-$\frac{{v}_{0}}{2}$）+mv_A+kmv_B ①
根據(jù)機械能守恒定律，有：
$\frac{1}{2}（2m）{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}m（\frac{{v}_{0}}{2}）^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}+$$\frac{1}{2}km{v}_{B}^{2}$ ②
聯(lián)立解得：
${v}_{B}=\frac{3k+\sqrt{2{k}^{2}-7}}{2（{k}^{2}+1）}{v}_{0}$ 
或：${v}_{B}=\frac{3k-\sqrt{2{k}^{2}-7}}{2（{k}^{2}+1）}{v}_{0}$
（3）在木塊A、C分離以后的過程中，A、B系統(tǒng)動量守恒，如果B的速度為零，根據(jù)動量守恒定律，有：
mv₀=m（-$\frac{{v}_{0}}{2}$）+mv_A′+kmv_B′
v_B′=0
解得：v_A′=$\frac{3}{2}{v}_{0}$
由于$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{′2}$=$\frac{9}{8}m{v}_{0}^{2}$$＞\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，即不符合能量守恒定律，故不可能出現(xiàn)B的速度為零的情況．
答：（1）木塊C最終靜止時距離斜面底端的距離為$\frac{{v}_{0}^{2}}{16gsinθ}$；
（2）彈簧彈性熱能的最大值為$\frac{k}{4（2+k）}m{v}_{0}^{2}$，木塊AC分離時木塊B的速度為$\frac{3k+\sqrt{2{k}^{2}-7}}{2（{k}^{2}+1）}{v}_{0}$ 或$\frac{3k-\sqrt{2{k}^{2}-7}}{2（{k}^{2}+1）}{v}_{0}$；
（3）在木塊AC分離以后的過程中，不管k取何值，木塊B均不可能有速度為零的時刻．

點評 本題是典型的三多問題，即物體多、規(guī)律多、過程多，關(guān)鍵是分析清楚受力情況、運動情況和能量轉(zhuǎn)化情況，多次結(jié)合動量守恒定律和功能關(guān)系列式分析后列式求解即可．