Question

10．如圖甲所示，長(zhǎng)木板A靜止在水平地面上，其右端疊放著物塊B，左端恰好在O點(diǎn)，水平面以O(shè)點(diǎn)為界，左側(cè)光滑、右側(cè)粗糙．物塊C（可以看作質(zhì)點(diǎn)）和D間夾著一根被壓縮的彈簧，并用細(xì)線鎖住，兩者以共同速度v₀=8m/s向右運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻細(xì)線突然斷開(kāi)，C和彈簧分離后，撤去D，C與A碰撞并與A粘連（碰撞時(shí)間極短），此后，AC及B的速度一時(shí)間圖象如圖乙所示．已知A、B、C、D的質(zhì)量均為m=l kg，木板A的長(zhǎng)度l=5m，A、C與粗糙面間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度g=10m/s²．求：

（1）長(zhǎng)木板A與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)及B與A間的動(dòng)摩擦因數(shù)．
（2）燒斷細(xì)線之前彈簧的彈性勢(shì)能．
（3）最終物塊B離長(zhǎng)木板A左端的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)乙圖的斜率求出AC及B運(yùn)動(dòng)的加速度，結(jié)合牛頓第二定律求得摩擦因數(shù)；
（2）C與A碰撞，遵守動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律求出碰撞前C的速度．彈簧彈開(kāi)的過(guò)程中C、D組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由此列式彈開(kāi)后D的速度，再由能量守恒定律列式求燒斷細(xì)線之前彈簧的彈性勢(shì)能；
（3）根據(jù)乙圖求得達(dá)到共同速度各自前進(jìn)的位移，達(dá)到共同速度后，A、B做減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求得各自的加速度，利用速度位移公式求得減速到零前進(jìn)的位移，即可求得最終B離A右端的距離

解答 解：（1）設(shè)A與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，B與A間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ′．
由乙圖知，C與A碰撞后，AC做勻減速運(yùn)動(dòng)的加速度大小 a_A1=$\frac{4.5-1}{1}$=3.5m/s²．
B做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度 a_B1=$\frac{1}{1}$m/s²=1m/s²．
對(duì)B受力分析，根據(jù)牛頓第二定律可知 μ′mg=ma_B1，解得 μ′=0.1
對(duì)AC組成的整體，根據(jù)牛頓第二定律可知 μ′mg+μ•3mg=2ma_A1，解得 μ=0.2
（2）C與A碰撞過(guò)程，取向右為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律可得
   mv_C=2mv_A，其中  v_A=4.5m/s
解得 v_C=9m/s
彈簧彈開(kāi)過(guò)程中，C、D組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得
  2mv₀=mv_C+mv_D，解得 v_D=7m/s
彈簧彈開(kāi)過(guò)程中，C、D及彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則有
  $\frac{1}{2}$•2mv₀²+E_P=$\frac{1}{2}$mv_C²+$\frac{1}{2}$mv_D²
解得  E_P=1J
（3）由圖乙可知：0-1s內(nèi)B相對(duì)A向左運(yùn)動(dòng)的位移為 x₁=$\frac{4.5×1}{2}$=2.25m
A與B達(dá)到共相等速度后，B的加速度大小為 a_B2=$\frac{μ′mg}{m}$=μ′g=1m/s²．
AC整體的加速度大小為 a_A2=$\frac{3μmg-μ′mg}{2}$
解得  a_A2=2.5m/s²．
因?yàn)?a_A2＞a_B2，所以AC整體先停止運(yùn)動(dòng)，AC整體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t=$\frac{v}{{a}_{A2}}$=$\frac{1}{2.5}$=0.4s
在0.4s內(nèi)B相對(duì)A向右運(yùn)動(dòng)的位移為 x₂=vt-$\frac{1}{2}{a}_{B2}{t}^{2}$-$\frac{vt}{2}$
解得 x₂=0.12m
A停止時(shí)B的速度為 v′=v-a_B2t=1-1×0.4=0.6m
然后B在A上面做勻減速運(yùn)動(dòng)直到停止，B的加速度大小為 a_B3=$\frac{μ′mg}{m}$=μ′g=1m/s²．
B相對(duì)于A向右運(yùn)動(dòng)的位移為 x₃=$\frac{v{′}^{2}}{2{a}_{B3}}$=$\frac{0．{6}^{2}}{2×1}$m=0.18m
故最終B離長(zhǎng)木板A右端的距離為 x=l-x₁+x₂+x₃
解得 x=3.05m
答：
（1）長(zhǎng)木板A與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)及B與A間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為0.2和0.1．
（2）燒斷細(xì)線之前彈簧的彈性勢(shì)能是1J．
（3）最終物塊B離長(zhǎng)木板A左端的距離是3.05m．

點(diǎn)評(píng) 分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，準(zhǔn)確選擇研究對(duì)象，然后應(yīng)用動(dòng)量守恒定律、牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分段進(jìn)行研究．