Question

3．在桌面上有一個倒立的透明玻璃圓錐，其頂點(diǎn)恰好與桌面接觸，圓錐的軸（圖中虛線）與桌面垂直，玻璃圓錐過軸線的截面為等邊三角形，如圖所示．有一個半徑為r的圓柱形平行光束垂直入射到圓錐的上表面，光束的中心軸與圓錐的軸重合，已知玻璃的折射率n=l.73，r為已知．
①通過計算說明光線1能不能在圓錐的側(cè)面B點(diǎn)發(fā)生全反射？
②光線l經(jīng)過圓錐側(cè)面B點(diǎn)后射到桌面上某一點(diǎn)所用的總時間t為多少？光照亮地面的面積為多大？（光在空氣中的速度用c表示）

Answer 1

分析 ①光線1射到B點(diǎn)時，入射角等于60°，根據(jù)玻璃的折射率為1.73，可得入射角與臨界角的大小，從而判斷能否發(fā)生全反射．
②可根據(jù)幾何關(guān)系可確定光線在圓錐內(nèi)和外通過的路程，由v=$\frac{c}{n}$求出光線在玻璃中的速度，即可求解時間．可先根據(jù)幾何關(guān)系可確定光斑的半徑，再求解光斑面積．

解答 解：（1）設(shè)玻璃圓錐的臨界角為C，有：sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{1.73}$
得：sinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
而sin=60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
得：C＜60°
根據(jù)幾何知識可知，光線在B點(diǎn)的入射角為60°，大于臨界角，所以光線1能在圓錐的側(cè)面B點(diǎn)發(fā)生全反射．
（2）由幾何關(guān)系知：$\overline{BE}$=$\overline{EF}$=BOtan60°=$\sqrt{3}$r
所以光線1經(jīng)過圓錐側(cè)面B點(diǎn)后射到桌面上某一點(diǎn)所用的總時間為：t=$\frac{\overline{BE}}{\frac{c}{n}}$+$\frac{\overline{EF}}{c}$=4.73$\frac{r}{c}$
光斑半徑為：R=$\overline{OF}$=$\overline{GF}$-$\overline{BO}$cos60°=2$\overline{BE}$cos30°-r=2×$\sqrt{3}$r•$\frac{\sqrt{3}}{2}$-r=2r
故光照亮地面的光斑面積為：
s=πR²=4πr²．
答：（1）線1能在圓錐的側(cè)面B點(diǎn)發(fā)生全反射．
（2）光線1經(jīng)過圓錐側(cè)面B點(diǎn)后射到桌面上某一點(diǎn)所用的總時間t為4.73$\frac{r}{c}$，光照亮地面的光斑面積s是4πr²．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵之處是借助于光的折射與反射定律作出光路圖，同時利用幾何關(guān)系來輔助計算．