1.設集合,,則為
A. B. C. D.
2.復數,,則
A. B. C. D.
3.一個田徑隊,有男運動員30人,女運動員20人,比賽后,立即用分層抽樣的方法,從全體隊員中抽出一個容量為10的樣本進行尿樣興奮劑檢查,其中男運動員應抽
A.3人 B.4人 C.5人 D.6人
4.要得到函數的圖象,需將函數的圖象
A.向左平移個單位 B.向右平移個單位
C.向左平移個單位 D.向右平移個單位
5.若隨機變量的分布列是:
|
1 |
3 |
5 |
|
0.2 |
0.6 |
|
則其數學期望等于
A.1 B. C. D.3
6.已知的一條漸近線方程為,則雙曲線的離心率為
A. B. C. D.
7.已知函數,且的解集為,則函數的圖象大致是
A B C D
8.設、為不同的直線,為平面,且,下列為假命題的是
A.若,則 B.若,則
C.若,則 D.若,則
9.甲、乙、丙三位學生用計算機聯(lián)網學習數學,每天上課后獨立完成6道自我檢測題,甲及格的概率為,乙及格的概率為,丙及格的概率為,三人各自檢測一次,則三人中至少一人及格的概率為
A. B. C. D.
10.若把英語單詞“hello”的字母順序寫錯了,則可能出現的錯誤的種數是
A.59 B.60 C.119 D.120
11.已知是定義在R上的不恒為零的函數,且對于任意的,,滿足關系式:,則的奇偶性為
A.奇函數 B.偶函數 C.非奇非偶函數 D.既是奇函數也是偶函數
12.已知、是橢圓的兩個焦點,P是橢圓上的一點,若的內切圓半徑為1,則點P到軸的距離為
A. B. C.3 D.
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
13.在的展開式中,常數項是 (用數字作答)。
14.函數,的反函數是 。
15.球面上三點A、B、C,AB=AC=BC=3,若球心到截面ABC的距離等于球半徑的一半,則球的表面積為 。
16.定義運算*為:*,例如:1*2=1,則函數*的值域為 。
17.(本小題滿分12分)
已知向量,。
記函數,若函數 的最小正周期為。
(1)求;
(2)求函數的最大值,并求此時的值。
18.(本小題滿分12分)
已知函數的圖象與直線相切于點。
(1)求的值;
(2)求函數的單調區(qū)間和極小值。
19.(本小題滿分12分)
如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AA1=4,AB=5,BC=3,AC=4,D為CC1的中點。
(1)求異面直線AD與A1B1所成角的余弦值;
(2)試在線段AB上找一點E,使得:A1E⊥AD;
(3)求點D到平面B1C1E的距離。
20.(本小題滿分12分)
某高速公路指揮部接到通知,24小時后將有一場超歷史記錄的大暴雨,為確保萬無一失,指揮部決定在24小時內筑一道臨時堤壩,以防山洪淹沒正在緊張施工的隧道工程。經測算,除現有施工人員外,還須調用翻斗車搬運立方米的土方。已知每輛翻斗車每小時可搬運的土方量為,指揮部可調用25輛上述型號的翻斗車,但其中只有一輛可以立即投入施工,其余車輛需要從各處緊急抽調,每隔20分鐘有一輛車到達并投入施工。
(1)從第一輛車投入施工算起,第25輛車須多久才能到達?
(2)24小時內能否完成防洪堤壩工程?請說明理由。
21.(本小題滿分12分)
已知拋物線的頂點在原點,焦點F在軸上。M為拋物線上的點,M的橫坐標為2,且|MF|=3。
(1)求此拋物線的方程;
(2)如圖,過軸正半軸上任一點作直線與此拋物線交于A、B兩點,點Q是點P關于原點的對稱點。點P分有向線段所成的比為。
求證:。
22.(本小題滿分14分)
已知函數,若的定義域為[-1,0],值域也為
[-1,0]。
(1)求出符合條件的函數的表達式;
(2)若數列的前項和為,數列的前項和為,試求;
(3)若數列滿足,記數列的前項和為,問是否存在正常數A,使得對于任意正整數都有?并證明你的結論。
參考解答及評分標準
1.A 2.D 3.D 4.B 5.D 6.C 7.C 8.B 9.B 10.A 11.A 12.B
13.495 14. 15.16 16.
17.解:∵,
∴………………………2分
………………………4分
………………………6分
(1)∵函數的最小正周期,
∴,∴………………………8分
(2)當時,函數取得最大值,
此時,,解得……………12分
18.解:(1)∵,∴, ……2分
∵函數在處的切線方程為,
∴,∴……………………………………………………5分
(2)∵點在直線上, ∴,∴,
∵在的圖象上,∴,
∴…………………………………………7分
由(1)得:,
令,則,因此函數的單調遞增區(qū)間為(1,+∞),……9分
令,則,因此函數的單調遞減區(qū)間為(-1,1)
∴當時,函數取得極小值………………………………………12分
19.解:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
(1)∵,
∴(或其補角)為異面直線AD與A1B1所成的角,
………………………2分,連結BD,
在中,∵AC=4,
∴,
在中,∵BC=3,CD=2,∴,
在△ABD中,∵AB=5,
∴異面直線AD與A1B1所成角的余弦值為………………………………4分
(2)證明:∵AB=5,BC=3,AC=4,∴,
∵底面ABC⊥側面ACC1A1,∴BC⊥側面ACC1A1,………………………………6分
取AB、AC的中點E、F,連結EF、A1F,則EF//BC,
∴EF⊥平面ACC1A1, ∴A1F為A1E在側面AC1內的射影,
在正方形C1CAA1內,∵ D、F分別為CC1、AC的中點,
∴≌,∴,
∴,∴,
∴(三垂線定理)………………8分
(3)連結,過D作DH⊥,垂足為H。
∵EF//BC,BC//B1C1,∴EF// B1C1,∴點F在平面B1C1E內。
∵EF⊥平面ACC1A1,平面ACC1A1,EF⊥DH,………………10分
∵,,∴DH⊥平面B1C1E。
在中,∵,∴?!?2分
20.解:(1)設從第一輛車投入施工算起,各車到達時間依此為、、…、,依題意,它們組成一個首項為0,公差為(小時)的等差數列,…………3分
則=+24d,∴=24×=8,
答:第25輛車須8小時后才能到達?!?分
(2)設從第一輛車投入施工算起,各車的工作時間依次為、、…、,依題意,它們組成一個公差為-(小時)的等差數列,且………………8分
∵每輛車每小時的工作效率為,∴
即,……………………10分
又∵,∴,即,
由于,可見的工作時間可以滿足要求,即工程可以在24小時內完成。
答:24小時內能完成防洪堤壩?!?2分
21.(本小題滿分12分)。
(1)解:依題意,可設所求拋物線方程為:
則拋物線的準線方程為:,∴點M(2,y)到準線的距離,……2分
由拋物線定義知:,故,∴,
故所求拋物線方程為:?!?分
(2)證明:依題意,可設直線AB的方程為,代入拋物線方程得:
,①
設A、B兩點的坐標分別是、,則、是方程①的兩根,
∵,∴………………6分
由點分有向線段所成的比為得:,即,
又點Q是點關于原點的對稱點,故點Q的坐標是,從而,
∵,
∴…………………………………9分
,
∴?!?2分。
22.解:(1),
∵,∴,故當時,?!?分
若,∴,則,∴
若,則,則,∴(舍去)
故……………………………………4分
(2)當時,,
當時,
∴…………………………………………………6分
∴,
∴
∴……………………………………………9分
(3)∵……………………………………………10分
∴,
∵,,…………
,
故當時,,
因此,對任何常數A,設是不小于A的最小正整數,
則當時,必有。
故不存在常數A使對所有的正整數恒成立?!?4分