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19.解:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
(1)∵,
∴(或其補(bǔ)角)為異面直線AD與A1B1所成的角,
………………………2分,連結(jié)BD,
在中,∵AC=4,
∴,
在中,∵BC=3,CD=2,∴,
在△ABD中,∵AB=5,
∴異面直線AD與A1B1所成角的余弦值為………………………………4分
(2)證明:∵AB=5,BC=3,AC=4,∴,
∵底面ABC⊥側(cè)面ACC1A1,∴BC⊥側(cè)面ACC1A1,………………………………6分
取AB、AC的中點(diǎn)E、F,連結(jié)EF、A1F,則EF//BC,
∴EF⊥平面ACC1A1, ∴A1F為A1E在側(cè)面AC1內(nèi)的射影,
在正方形C1CAA1內(nèi),∵ D、F分別為CC1、AC的中點(diǎn),
∴≌,∴,
∴,∴,
∴(三垂線定理)………………8分
(3)連結(jié),過(guò)D作DH⊥,垂足為H。
∵EF//BC,BC//B1C1,∴EF// B1C1,∴點(diǎn)F在平面B1C1E內(nèi)。
∵EF⊥平面ACC1A1,平面ACC1A1,EF⊥DH,………………10分
∵,,∴DH⊥平面B1C1E。
在中,∵,∴。……………12分
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