4.(人教A版105習(xí)題3.3A組第2題)
畫出不等式組表示的平面區(qū)域.
變式1:點(-2,t)在直線2x-3y+6=0的上方,則t的取值范圍是______
解:(-2,t)在2x-3y+6=0的上方,則2×(-2)-3t+6<0,解得t> 答案:t>
設(shè)計意圖:熟悉判斷不等式所代表的區(qū)域的方法.
變式2:求不等式|x-1|+|y-1|≤2表示的平面區(qū)域的面積
解:|x-1|+|y-1|≤2可化為
或或或
其平面區(qū)域如圖
∴面積S=×4×4=8
設(shè)計意圖:不同形式的可行域的作圖.
5.(人教A版113頁習(xí)題3.4A組第1題)
(1)把36寫成兩個正數(shù)的積,當(dāng)這兩個正數(shù)取什么值時,它們的和最???
(2)把18寫成兩個正數(shù)的和,當(dāng)這兩個正數(shù)取什么值時,它們的積最大?
變式1:函數(shù)y =+的值域為
解:y=+= (+1)+-1≥2-1=1 ,所以值域為[1, +∞)
設(shè)計意圖:均值不等式的靈活應(yīng)用.
變式2:設(shè)x≥0, y≥0, x2+=1,則的最大值為__
解法一: ∵x≥0, y≥0, x2+=1
∴==
≤==
當(dāng)且僅當(dāng)x=,y=(即x2= )時, 取得最大值
解法二: 令(0≤≤)
則=cos=
≤=
當(dāng)=,
即=時,x=,y=時,取得最大值
設(shè)計意圖:均值不等式的靈活應(yīng)用.
6.(人教A版115復(fù)習(xí)參考題A組第2題)
已知集合,,求.
變式1:已知A={x|x3+3x2+2x>0},B={x|x2+ax+b≤0}且A∩B={x|0<x≤2},A∪B={x|x>-2},求a、b的值
解:A={x|-2<x<-1或x>0},
設(shè)B=[x1,x2],由A∩B=(0,2]知x2=2,
且-1≤x1≤0, ①
由A∪B=(-2,+∞)知-2≤x1≤-1 ②
由①②知x1=-1,x2=2,
∴a=-(x1+x2)=-1,b=x1x2=-2
設(shè)計意圖:一元二次不等式與集合的運算綜合。
變式2:解關(guān)于x的不等式
解:下面對參數(shù)m進行分類討論:
①當(dāng)m=時,原不等式為x+1>0,∴不等式的解為
②當(dāng)時,原不等式可化為
,∴不等式的解為或
③當(dāng)時,原不等式可化為
,
當(dāng)時,原不等式的解集為;
當(dāng)時,原不等式的解集為;
當(dāng)時,原不等式無解
綜上述,原不等式的解集情況為:
①當(dāng)時,解為;
②當(dāng)時,無解;
③當(dāng)時,解為;
④當(dāng)m=時,解為;
⑤當(dāng)時,解為或
設(shè)計意圖:含參數(shù)的一元二次不等式的解法。
7. (人教A版115復(fù)習(xí)參考題B組第1題)
求證:
變式1:己知都是正數(shù),且成等比數(shù)列,
求證:
證明:
成等比數(shù)列,
都是正數(shù),
設(shè)計意圖:基本不等式的靈活應(yīng)用。
變式2:若,求證ab與 不能都大于
證明:假設(shè)ab, (1-a) (1-b)都大于
設(shè)計意圖:基本不等式與累乘、反證法綜合應(yīng)用。
8. (人教A版116復(fù)習(xí)參考題B組第7題)
要制造一個無蓋的盒子,形狀為長方體,底寬為2m?,F(xiàn)有制盒材料60m2,當(dāng)盒子的長、高各為多少時,盒子的體積最大?
變式1:今有一臺壞天平,兩臂長不等,其余均精確,有人說要用它稱物體的重量,只需將物體放在左右托盤各稱一次,則兩次稱量結(jié)果的和的一半就是物體的真實重量,這種說法對嗎?并說明你的結(jié)論
解:不對
設(shè)左、右臂長分別是 ,物體放在左、右托盤稱得重量分別為真實重量為為G,則由杠桿平衡原理有:
,
?、佟立诘肎2=, ∴G=
由于,故 ,由平均值不等式 > 知說法不對
設(shè)計意圖:基本不等式的應(yīng)用。