1．(人教A版第27頁A組第6題)解析式、待定系數(shù)法

若，且，，求的值．

變式1：若二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,11)，則

　A．　　　　　　 B．　　　　　　

C．　　　　　　 D．

變式2：若的圖像x=1對稱，則c=_______．

變式3：若二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、，且，試問該二次函數(shù)的圖像由的圖像向上平移幾個(gè)單位得到？

2．(北師大版第52頁例2)圖像特征

將函數(shù)配方，確定其對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，求出它的單調(diào)區(qū)間及最大值或最小值，并畫出它的圖像．

變式1：已知二次函數(shù)，如果(其中)，則　

A．　　　　　 B．　　　　　　 C． 　　　　　　D．

變式2：函數(shù)對任意的x均有，那么、、的大小關(guān)系是

　A．　　　　　　 B．

　C．　　　　　　 D．

變式3：已知函數(shù)的圖像如右圖所示，

請至少寫出三個(gè)與系數(shù)a、b、c有關(guān)的正確命題_________．

3．(人教A版第43頁B組第1題)單調(diào)性

已知函數(shù)，．

(1)求，的單調(diào)區(qū)間；(2) 求，的最小值．

變式1：已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是

　A．　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　 D．

變式2：已知函數(shù)在區(qū)間(,1)上為增函數(shù)，那么的取值范圍是_________．

變式3：已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

4．(人教A版第43頁B組第1題)最值

已知函數(shù)，．

(1)求，的單調(diào)區(qū)間；(2) 求，的最小值．

變式1：已知函數(shù)在區(qū)間[0,m]上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是

　A．　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　 D．

變式2：若函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則M + m的值等于________．

變式3：已知函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最小值為3，求a的值．

5．(人教A版第43頁A組第6題)奇偶性

已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)≥0時(shí)，．畫出函數(shù)的圖像，并求出函數(shù)的解析式．

變式1：若函數(shù)是偶函數(shù)，則在區(qū)間上是

　A．增函數(shù)　　　 B．減函數(shù)　　　 C．常數(shù)　　　 D．可能是增函數(shù)，也可能是常數(shù)

變式2：若函數(shù)是偶函數(shù)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是________．

變式3：設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，．

(I)討論的奇偶性；(II)求的最小值．

6．(北師大版第64頁A組第9題)圖像變換

已知．

(1)畫出函數(shù)的圖象；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)求函數(shù)的最大值和最小值．

變式1：指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

變式2：已知函數(shù)．

給下列命題：①必是偶函數(shù)；

② 當(dāng)時(shí)，的圖像必關(guān)于直線x=1對稱；

③ 若，則在區(qū)間[a，+∞上是增函數(shù)；

④有最大值．

　　　　 其中正確的序號是________．③

變式3：設(shè)函數(shù)給出下列4個(gè)命題：

　　　 　　 ①當(dāng)c=0時(shí)，是奇函數(shù)；

　　　 　　 ②當(dāng)b=0，c>0時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)根；

　　　 　　 ③的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，c)對稱；

　　　 ④方程至多有兩個(gè)實(shí)根．

　　　 上述命題中正確的序號為　　　　　　　　　 ．

7．(北師大版第54頁A組第6題)值域

求二次函數(shù)在下列定義域上的值域：

(1)定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384131_1/image076.gif">；(2) 定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384131_1/image077.gif">．

變式1：函數(shù)的值域是

　A．　　　 B．　　　 C．　　　　 D．

變式2：函數(shù)y=cos2x+sinx的值域是__________．

變式3：已知二次函數(shù) f (x) = a x ² + bx(a、b 為常數(shù)，且 a ≠ 0)，滿足條件 f (1 + x) = f (1－x)，且方程 f (x) = x 有等根．

(1)求 f (x) 的解析式；

(2)是否存在實(shí)數(shù) m、n(m < n)，使 f (x) 的定義域和值域分別為 [m,n] 和 [3m,3n]，如果

存在，求出 m、n 的值，如果不存在，說明理由．

8．(北師大版第54頁B組第5題)恒成立問題

當(dāng)具有什么關(guān)系時(shí)，二次函數(shù)的函數(shù)值恒大于零？恒小于零？

變式1：已知函數(shù) f (x) = lg (a x ² + 2x + 1) ．

(I)若函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?R，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍；

(II)若函數(shù) f (x) 的值域?yàn)?R，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍．

變式2：已知函數(shù)，若時(shí)，有恒成立，求的取值范圍．

變式3：若f (x) = x ² + bx + c，不論 a、b 為何實(shí)數(shù)，恒有 f (sin a )≥0，f (2 + cos b )≤0．

(I) 求證：b + c = －1；

(II) 求證： c≥3；

(III) 若函數(shù) f (sin a ) 的最大值為 8，求 b、c 的值．

9．(北師大版第54頁B組第1題)根與系數(shù)關(guān)系

右圖是二次函數(shù)的圖像，它與x軸交于點(diǎn)和，試確定以及，的符號．

變式1：二次函數(shù)與一次函數(shù)在同一個(gè)直角坐標(biāo)系的圖像為

　　　　

　

變式2：直線與拋物線

中至少有一條相交，則m的取值范圍是．

變式3：對于函數(shù) f (x)，若存在 x₀ Î R，使 f (x₀) = x₀ 成立，則稱 x₀ 為 f (x) 的不動點(diǎn)．如果函數(shù) f (x) = a x ² + bx + 1(a > 0)有兩個(gè)相異的不動點(diǎn) x₁、x₂．

(I)若 x₁ < 1 < x₂，且 f (x) 的圖象關(guān)于直線 x = m 對稱，求證m > ；

(II)若 | x₁ | < 2 且 | x₁－x₂ | = 2，求 b 的取值范圍．

10．(北師大版第52頁例3)應(yīng)用

綠緣商店每月按出廠價(jià)每瓶3元購進(jìn)一種飲料．根據(jù)以前的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，若零售價(jià)定為每瓶4元，每月可銷售400瓶；若每瓶售價(jià)每降低0.05元，則可多銷售40瓶．在每月的進(jìn)貨量當(dāng)月銷售完的前提下，請你給該商店設(shè)計(jì)一個(gè)方安：銷售價(jià)應(yīng)定為多少元和從工廠購進(jìn)多少瓶時(shí)，才可獲得最大的利潤？

變式1：在拋物線與x軸所圍成圖形的內(nèi)接矩形(一邊在x軸上)中(如圖)，求周長最長的內(nèi)接矩形兩邊之比，其中a是正實(shí)數(shù)．

變式2：某民營企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖一；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖二(注：利潤和投資單位：萬元)

(I)　　　 分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；

(II)　　 該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少元(精確到1萬元)？

變式3：設(shè)a為實(shí)數(shù)，記函數(shù)的最大值為g(a) ．

(Ⅰ)求g(a)；(Ⅱ)試求滿足的所有實(shí)數(shù)a．

二次函數(shù)答案

1．(人教A版第27頁A組第6題)解析式、待定系數(shù)法

變式1： 解：由題意可知，解得，故選D．

變式2： 解：由題意可知，解得b=0，∴，解得c=2．

變式3：解：由題意可設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為，

展開得，

∴，

∴，即，解得．

所以，該二次函數(shù)的圖像是由的圖像向上平移 單位得到的，它的解析式是，即．

2．(北師大版第52頁例2)圖像特征

變式1： 解：根據(jù)題意可知，∴ ，故選D．

變式2： 解：∵，∴拋物線的對稱軸是，

∴　 即，

∴，∴、、，

故有，選C．

變式3： 解：觀察函數(shù)圖像可得：

①　　 a>0(開口方向)；② c=1(和y軸的交點(diǎn))；

③ (和x軸的交點(diǎn))；④()；

⑤ (判別式)；⑥ (對稱軸)．

3．(人教A版第43頁B組第1題)單調(diào)性

變式1： 解：函數(shù)圖像是開口向上的拋物線，其對稱軸是，

由已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減可知區(qū)間應(yīng)在直線的左側(cè)，

∴，解得，故選D．

變式2：解：函數(shù)在區(qū)間(,1)上為增函數(shù)，由于其圖像(拋物線)開口向上，所以其對稱軸或與直線重合或位于直線的左側(cè)，即應(yīng)有，解得，

∴　 ，即．

變式3：解：函數(shù)的圖像是開口向下的拋物線，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是，

∵　 已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，∴　 區(qū)間應(yīng)在直線的左側(cè)或右側(cè)，

即有或，解得或．

4．(人教A版第43頁B組第1題)最值

變式1： 解：作出函數(shù)的圖像，

開口向上，對稱軸上x=1，頂點(diǎn)是(1，2)，和y軸的交點(diǎn)是(0，3)，

∴m的取值范圍是，故選C．

變式2： 解：函數(shù)有意義，應(yīng)有，解得，

∴　 　Þ 　Þ ，

∴　 M=6，m=0，故M + m=6．

變式3： 解：函數(shù)的表達(dá)式可化為．

① 當(dāng)，即時(shí)，有最小值，依題意應(yīng)有，解得，這個(gè)值與相矛盾．

②當(dāng)，即時(shí)，是最小值，依題意應(yīng)有，解得，又∵，∴為所求．

③當(dāng)，即時(shí)，是最小值，

依題意應(yīng)有，解得，又∵，∴為所求．

綜上所述，或．

5．(人教A版第43頁A組第6題)奇偶性

變式1： 解：函數(shù)是偶函數(shù) Þ 　Þ ，

當(dāng)時(shí)，是常數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上是增函數(shù)，故選D．

變式2：解：根據(jù)題意可知應(yīng)有且，即且，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是．

變式3： 解：(I)當(dāng)時(shí)，函數(shù)，此時(shí)，為偶函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，，

，，此時(shí)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．

(II)(i)當(dāng)時(shí)，，

若，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而函數(shù)在上的最小值為．

若，則函數(shù)在上的最小值為，且．

(ii)當(dāng)時(shí)，函數(shù)，

若，則函數(shù)在上的最小值為，且，

若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而函數(shù)在上的最小值為．

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為．

6．(北師大版第64頁A組第9題)圖像變換

變式1： 解：函數(shù)可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，作出函數(shù)圖像，由圖像可得單調(diào)區(qū)間．

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，．

作出函數(shù)圖像，由圖像可得單調(diào)區(qū)間．

在和上，函數(shù)是增函數(shù)；在和上，函數(shù)是減函數(shù)．

變式2： 解：若則，顯然不是偶函數(shù)，所以①是不正確的；

若則，滿足，但的圖像不關(guān)于直線x=1對稱，所以②是不正確的；

若，則，圖像是開口向上的拋物線，其對稱軸是，∴在區(qū)間[a，+∞上是增函數(shù)，即③是正確的；

顯然函數(shù)沒有最大值，所以④是不正確的．

變式3： 解：，

(1)當(dāng)c=0時(shí)，，滿足，是奇函數(shù)，所以①是正確的；

(2)當(dāng)b=0，c>0時(shí)，，

方程即　或　，

顯然方程無解；方程的唯一解是　，所以② 是正確的；

(3)設(shè)是函數(shù)圖像上的任一點(diǎn)，應(yīng)有，

而該點(diǎn)關(guān)于(0，c)對稱的點(diǎn)是，代入檢驗(yàn)即，也即，所以也是函數(shù)圖像上的點(diǎn)，所以③是正確的；

(4)若，則，顯然方程有三個(gè)根，所以④ 是不正確的．

7．(北師大版第54頁A組第6題)值域

變式1： 解：作出函數(shù)的圖象，容易發(fā)現(xiàn)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，求出，，，注意到函數(shù)定義不包含，所以函數(shù)值域是．

變式2：解：∵ y= cos2x+sinx=－2sin²x+sinx+1，令t= sinx Î [－1,1]，

則y=－2t²+t+1，其中tÎ [－1,1]，

∴y Î [－2, ]，即原函數(shù)的值域是[－2, ]．

變式3： 解：(I) ∵　 f (1 + x) = f (1－x)，

∴ －　= 1，

又方程 f (x) = x 有等根 Û a x ² + (b－1) x = 0 有等根，

∴ △= (b－1) ² = 0 Þ b = 1 Þ a = －，

∴ f (x) = －x ² + x．

(II) ∵　　 f (x) 為開口向下的拋物線，對稱軸為 x = 1，

1° 當(dāng) m≥1 時(shí)，f (x) 在 [m,n] 上是減函數(shù)，

∴　 3m = f (x)_min = f (n) = －n ² + n　　　 (*)，

　　　 　　　　 3n = f (x)_max = f (m) = －m ² + m，

兩式相減得：3 (m－n) = －(n ²－m ²) + (n－m)，

∵　　 1≤m < n，上式除以 m－n 得：m + n = 8，

代入 (*) 化簡得：n ²－8n + 48 = 0 無實(shí)數(shù)解．

2° 當(dāng) n≤1 時(shí)，f (x) 在 [m,n] 上是增函數(shù)，

∴　 3m = f (x)_min = f (m) = －m ² + m，

　　　 　　　　 3n = f (x)_max = f (n) = －n ² + n，

∴　　 m = －4，n = 0．

3° 當(dāng) m≤1≤n 時(shí)，對稱軸 x = 1 Î [m,n]，

∴　 3n = f (x)_max = f (1) = 　Þ n = 與 n≥1 矛盾．

綜合上述知，存在 m = －4、n = 0 滿足條件．

8．(北師大版第54頁B組第5題)恒成立問題

變式1： 解：(I) 函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?R，即不等式a x ² + 2x + 1 > 0 的解集為 R，

∴應(yīng)有　 　Þ a > 1，

∴　 實(shí)數(shù) a 的取值范圍是(1,+¥) ．

(II) 函數(shù) f (x) 的值域?yàn)?R，即a x ² + 2x + 1 能夠取 (0,+¥) 的所有值．

1° 當(dāng) a = 0 時(shí)，a x ² + 2x + 1 = 2x + 1滿足要求；

2° 當(dāng) a ≠ 0 時(shí)，應(yīng)有　Þ 0 < a≤1．

∴　 實(shí)數(shù) a 的取值范圍是[0,1] ．

變式2： 解法一：(轉(zhuǎn)化為最值)

在上恒成立，即在上恒成立．

⑴， ；

⑵，．

綜上所述．

解法二：(運(yùn)用根的分布)

⑴當(dāng)，即時(shí)，應(yīng)有， 即，不存在；

⑵當(dāng)，即時(shí)，應(yīng)有，

即，；

⑶當(dāng)，即時(shí)，應(yīng)有，即　，

綜上所述．

變式3： 證明：(I) 依題意，f (sin ) = f (1)≥0，f (2 + cos p) = f (1)≤0，

∴　　 f (1) = 0 Þ 1 + b + c = 0 Þ b + c = －1，

(II)　　　 由 (I) 得： f (x) = x ²－(c + 1) x + c 　　　 (*)

∵　 f (2 + cos b )≤0 Þ (2 + cos b ) ²－(c + 1) (2 + cos b ) + c≤0

Þ (1 + cos b ) [c－(2 + cos b )]≥0，對任意 b 成立．

∵　 1 + cos b ≥0 Þ c≥2 + cos b ，

∴　 c≥(2 + cos b )_max = 3．

(III) 由 (*) 得：f (sin a ) = sin ²a－(c + 1) sin a + c，

設(shè) t = sin a ，則g(t) = f (sin a ) = t ²－(c + 1) t + c，－1≤t≤1，

這是一開口向上的拋物線，對稱軸為 t = ，

由 (II) 知：t≥= 2，

∴ g(t) 在 [－1,1] 上為減函數(shù)．

∴ g(t)_max = g(－1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8，

∴ c = 3

∴ b = －c－1 = －4．

9．(北師大版第54頁B組第1題)根與系數(shù)關(guān)系

變式1： 解：二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象交于兩點(diǎn)、，由二次函

數(shù)圖象知同號，而由中一次函數(shù)圖象知異號，互相矛盾，故舍去．

又由知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與中圖形不符，當(dāng)時(shí)，，與中圖形相符．

變式2： 解：原命題可變?yōu)椋呵蠓匠?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384131_1/image277.gif">，，

中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解，而此命題的反面是：“三個(gè)方程均無實(shí)數(shù)解”，于是，從全體實(shí)數(shù)中除去三個(gè)方程均無實(shí)數(shù)解的的值，即得所求．

解不等式組得 ，

故符合條件的取值范圍是或．

變式3： 解：(I) 由 f (x) 表達(dá)式得 m = －，

∵　 g(x) = f (x)－x = a x ² + (b－1) x + 1，a > 0，

由　 x₁，x₂ 是方程 f (x) = x的兩相異根，且 x₁ < 1 < x₂，

∴　 g(1) < 0 Þ a + b < 0 Þ －> 1 Þ －> ，即 m > ．

(II) △= (b－1) ²－4a > 0 Þ (b－1) ² > 4a，

　　　 　　　 x₁ + x₂ = ，x₁x₂ = ，

∴　 | x₁－x₂ | ² = (x₁ + x₂) ²－4x₁x₂ = () ²－= 2 ²，

∴　 (b－1) ² = 4a + 4a ²　　　 (*)

又　　 | x₁－x₂ | = 2，

∴ x₁、x₂ 到 g(x) 對稱軸 x = 的距離都為1，

要 g(x) = 0 有一根屬于 (－2,2)，

則 g(x) 對稱軸 x = Î (－3,3)，

∴ －3 < < 3 Þ a > | b－1 |，

把代入 (*) 得：(b－1) ² > | b－1 | + (b－1) ²，

解得：b < 或 b > ，

∴ b 的取值范圍是：(－¥, )∪( ,+¥)．

10．(北師大版第52頁例3)應(yīng)用

變式1： 解：設(shè)矩形ABCD在x軸上的邊是BC，BC的長是x(0<x<a)，

則B點(diǎn)的坐標(biāo)為，A點(diǎn)的坐標(biāo)為．

設(shè)矩形ABCD的周長為P，

則P=2(0<x<a)．

① 若a>2，則當(dāng)x=2時(shí)，矩形的周長P有最大值，這時(shí)矩形兩邊的長分別為2和，兩邊之比為8:；

②若0 <a≤2，此時(shí)函數(shù)P=無最大值，也就是說周長最大的內(nèi)接矩形不存在．

綜上所述，當(dāng)a>2時(shí)，周長最大的內(nèi)接矩形兩邊之比為8:；當(dāng)0 <a≤2時(shí)，周長最大的內(nèi)接矩形不存在．

變式2： 解：(I) 依題意設(shè) A、B 兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式分別為

　　　 　　　　 f (x) = kx，g(x) = m，

由　 f (1) = k = 0.25， g(4) = 2m = 2.5 Þ m = ，

∴　 f (x) = x(x≥0)，g(x) = ．

(II) 設(shè)企業(yè)在 B 產(chǎn)品投資 x 萬元，則在 A 產(chǎn)品投資 10－x 萬元，

∴　 企業(yè)的利潤 y = (10－x) + = [－(－) ² + ](0≤x≤10)，

∴　 = ，即 x = 6.25 萬元時(shí)，企業(yè)獲得最大利潤 ≈4 萬元．

答：在 A 產(chǎn)品投資 3.75 萬元，在 B 產(chǎn)品投資 6.25 萬元，企業(yè)獲得最大利潤約 4 萬元．

變式3： 解：設(shè)，要使有意義，必須且，即，

∵，且……①　　

∴的取值范圍是．

由①得：，

不妨設(shè)，．

(I)由題意知即為函數(shù)，的最大值，

當(dāng)時(shí)，，，有=2；

當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線是拋物線的對稱軸，

∴可分以下幾種情況進(jìn)行討論：

(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)，的圖象是開口向上的拋物線的一段，

由知在上單調(diào)遞增，故；

(2)當(dāng)時(shí)，，函數(shù)，的圖象是開口向下的拋物線的一段，

若即時(shí)，，

若即時(shí)，，

若即時(shí)，．

綜上所述，有=．

(II)若a>0，則>0，此時(shí)g(a)=g( ) Û a+2= +2 Û a = Þa =1(舍去a=－1)；

若－<a<0，則<－2，此時(shí)g(a)=g( ) Û a+2=Þ a=－2+<－(舍去)；

若－<a≤－，則－2≤<－，

此時(shí)g(a)=g( ) Û －a－= Þ a=－ (舍去)；

若－≤a≤－，則－≤≤－，

此時(shí)g(a)=g( ) Û =恒成立；

若－2≤a<－，則－<≤－，

此時(shí)g(a)=g( ) Û =－a－Þ a=－ (舍去)；

若a<－2，則－<<0，

此時(shí)g(a)=g( ) Û = a+2Þ a=－2+>－2 (舍去) ．

綜上所述，滿足的所有實(shí)數(shù)a為：或．