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19.解:由條件知,設(shè),.
(I)當(dāng)與軸垂直時(shí),可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,
此時(shí).
當(dāng)不與軸垂直時(shí),設(shè)直線的方程是.
代入,有.
則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,所以,,
于是
.
綜上所述,為常數(shù).
(II)解法一:設(shè),則,,
,,由得:
即
于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
當(dāng)不與軸垂直時(shí),,即.
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383987_1/image411.gif">兩點(diǎn)在雙曲線上,所以,,兩式相減得
,即.
將代入上式,化簡得.
當(dāng)與軸垂直時(shí),,求得,也滿足上述方程.
所以點(diǎn)的軌跡方程是.
解法二:同解法一得……………………………………①
當(dāng)不與軸垂直時(shí),由(I) 有.…………………②
.………………………③
由①②③得.…………………………………………………④
.……………………………………………………………………⑤
當(dāng)時(shí),,由④⑤得,,將其代入⑤有
.整理得.
當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為,滿足上述方程.
當(dāng)與軸垂直時(shí),,求得,也滿足上述方程.
故點(diǎn)的軌跡方程是.
湖北理
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