20.解:由條件知,,設,.
解法一:(I)設,則則,,
,由得
即
于是的中點坐標為.
當不與軸垂直時,,即.
又因為兩點在雙曲線上,所以,,兩式相減得
,即.
將代入上式,化簡得.
當與軸垂直時,,求得,也滿足上述方程.
所以點的軌跡方程是.
(II)假設在軸上存在定點,使為常數(shù).
當不與軸垂直時,設直線的方程是.
代入有.
則是上述方程的兩個實根,所以,,
于是
.
因為是與無關的常數(shù),所以,即,此時=.
當與軸垂直時,點的坐標可分別設為,,
此時.
故在軸上存在定點,使為常數(shù).
解法二:(I)同解法一的(I)有
當不與軸垂直時,設直線的方程是.
代入有.
則是上述方程的兩個實根,所以.
.
由①②③得.…………………………………………………④
.……………………………………………………………………⑤
當時,,由④⑤得,,將其代入⑤有
.整理得.
當時,點的坐標為,滿足上述方程.
當與軸垂直時,,求得,也滿足上述方程.
故點的軌跡方程是.
(II)假設在軸上存在定點點,使為常數(shù),
當不與軸垂直時,由(I)有,.
以上同解法一的(II).
湖南文