5.(北師大版必修2 第117頁A組第7題) 若直線和直線垂直，求的值. 變式1：(1987年上海卷)若直線與直線平行但不重合，則等于(　 ) A.-1或2　　　　　　 B.-1 　　　　　　　　C.2　　　　　　　　 D. 解：∵，∴且，∴且，解得，故選(B). 變式2：(2005年北京春季卷)“”是“直線與直線相互垂直”的(　 ) A.充分必要條件　　　　　　　　　　　　　 B.充分而不必要條件 C.必要而不充分條件　　　　　　　　　　　 D.既不充分也不必要條件 解：由或，知由可推出，但由推不出，故是的充分不必要條件，故選(B). 變式3：設(shè)直線與圓相交于點、兩點，為坐標原點，且，求的值. 解：∵圓經(jīng)過原點，且，∴是圓的直徑，∴圓心(1，-2)在直線上，∴.

6.(人教A版必修2 第110頁A組第3題) 已知，，求線段的垂直平分線的方程. 變式1：已知關(guān)于直線的對稱點為，則直線的方程是(　 ) A.　 B.　　 C.　 D.　 解：依題意得，直線是線段的垂直平分線.∵，∴，∵的中點為(1，1)，∴直線的方程是即，故選(B). 變式2：已知圓與圓關(guān)于直線對稱 ，則直線的方程是　　　　　 . 解：依題意得，兩圓的圓心與關(guān)于直線對稱，故直線是線段的垂直平分線，由變式1可得直線的方程為. 變式3：求點關(guān)于直線的對稱點的坐標. 解：設(shè).由，且的中點在直線上，得，解得，∴.

7.(北師大版必修2 第118頁B組第2題) 光線自點射到點后被軸反射，求反射光線所在直線的方程. 變式1：一條光線從點射出，經(jīng)軸反射，與圓相切，則反射光線所在直線的方程是　　　　 . 解：依題意得，點關(guān)于軸的對稱點在反射光線所在的直線上，故可設(shè)反射光線所在直線的方程為，即.由反射光線與圓相切得，解得或，∴反射光線所在直線的方程是或，即或. 變式2：(2003年全國卷)已知長方形的四個頂點、、和，一質(zhì)點從的中點沿與夾角為的方向射到上的點后，依次反射到、和上的點、和(入射角等于反射角).設(shè)的坐標為.若，則的取值范圍是(　 ) A.　　　　　　 B.　　　　　　 C.　　　　　 D. 解：用特例法，取，則、、、分別為、、、的中點，此時.依題意，包含的選項(A)(B)(D)應(yīng)排除，故選(C). 變式3：已知點，在直線上求一點P，使最小. 解：由題意知，點A、B在直線的同一側(cè).由平面幾何性質(zhì)可知，先作出點關(guān)于直線的對稱點，然后連結(jié)，則直線與的交點P為所求.事實上，設(shè)點是上異于P的點，則. 設(shè)，則，解得，∴，∴直線的方程為.由，解得，∴.

8.(人教A版必修2第144頁A組 3) 求以為圓心，并且與直線相切的圓的方程. 變式1：(2006年重慶卷)過坐標原點且與圓相切的直線的方程為(　 ) A.或　　　　　　　　　　 B.或 C.或　　　　　　　　　 D.或 解：設(shè)直線方程為，即.∵圓方程可化為，∴圓心為(2，-1)，半徑為.依題意有，解得或，∴直線方程為或，故選(A). 變式2：(2006年湖北卷)已知直線與圓相切，則的值為　　　　 . 解：∵圓的圓心為(1，0)，半徑為1，∴，解得或. 變式3：求經(jīng)過點，且與直線和都相切的圓的方程. 解：設(shè)所求圓的方程為，則， 解得或，∴圓的方程為或.

9.(人教A版必修2 第144頁 A組 第5題) 求直線被圓截得的弦的長. 變式1：(1999年全國卷)直線截圓得的劣弧所對的圓心角為(　 ) A.　　　　　　　　 B.　　　　　　　 C.　　　　　　　　 D. 解：依題意得，弦心距，故弦長，從而△OAB是等邊三角形，故截得的劣弧所對的圓心角為，故選(C). 變式2：(2006年天津卷)設(shè)直線與圓相交于、兩點，且弦的長為，則　　　　 . 解：由弦心距、半弦長、半徑構(gòu)成直角三角形，得，解得. 變式3：已知圓，直線. (1)求證：不論取什么實數(shù)，直線與圓恒交于兩點； (2)求直線被圓截得的弦長最小時的方程. 解：(1)∵直線恒過定點，且，∴點在圓內(nèi)，∴直線與圓恒交于兩點. (2)由平面幾何性質(zhì)可知，當過圓內(nèi)的定點的直線垂直于時，直線被圓截得的弦長最小，此時，∴所求直線的方程為即.

11.(北師大版必修2第101頁例8) 判斷圓與圓的位置關(guān)系，并畫出圖形. 變式1：(1995年全國卷)圓和圓的位置關(guān)系是(　 ) A.相離　　　　　　　 B.外切　　　　　　　 C.相交　　　　　　 D.內(nèi)切 解：∵圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，∴.∵，∴兩圓相交，故選(C). 變式2：若圓與圓相切，則實數(shù)的取值集合是　　　　　 . 解：∵圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，且兩圓相切，∴或，∴或，解得或，或或，∴實數(shù)的取值集合是. 變式3：求與圓外切于點，且半徑為的圓的方程. 解：設(shè)所求圓的圓心為，則所求圓的方程為.∵兩圓外切于點，∴，∴，∴，∴所求圓的方程為.

12.(人教A版必修2 第145頁B組第2題) 已知點，點在圓上運動，求的最大值和最小值. 變式1：(2006年湖南卷)圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是(　 ) A.36　　　　　　　　 B.18　　　　　　　　 C.　　　　　　 D. 解：∵圓的圓心為(2，2)，半徑，∴圓心到直線的距離，∴直線與圓相離，∴圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是，故選(C). 變式2：已知，，點在圓上運動，則的最小值是　　　　 . 解：設(shè)，則.設(shè)圓心為，則，∴的最小值為. 變式3：已知點在圓上運動. (1)求的最大值與最小值；(2)求的最大值與最小值. 解：(1)設(shè)，則表示點與點(2，1)連線的斜率.當該直線與圓相切時，取得最大值與最小值.由，解得，∴的最大值為，最小值為. (2)設(shè)，則表示直線在軸上的截距. 當該直線與圓相切時，取得最大值與最小值.由，解得，∴的最大值為，最小值為.

13.(人教A版必修2第135頁B組第3題) 已知點與兩個定點，的距離的比為，求點的軌跡方程. 變式1：(2006年四川卷)已知兩定點，，如果動點滿足，則點的軌跡所包圍的面積等于(　 ) A.　　　　　　　　 B.　　　　　　　 C.　　　　　　 D. 解：設(shè)點的坐標是.由，得，化簡得，∴點的軌跡是以(2，0)為圓心，2為半徑的圓，∴所求面積為，故選(B). 變式2：(2004年全國卷)由動點向圓引兩條切線、，切點分別為、，=600，則動點的軌跡方程是　　　　　 . 解：設(shè).∵=600，∴=300.∵，∴，∴，化簡得，∴動點的軌跡方程是. 變式3：(2003年北京春季卷)設(shè)為兩定點，動點到點的距離與到點的距離的比為定值，求點的軌跡. 解：設(shè)動點的坐標為.由，得， 化簡得. 當時，化簡得，整理得； 當時，化簡得. 所以當時，點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓； 當時，點的軌跡是軸.

14.(人教A版必修2第133頁例5) 已知線段的端點的坐標是(4，3)，端點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程. 變式1：已知定點，點在圓上運動，是線段上的一點，且，則點的軌跡方程是(　 ) A.　　　　　　　　　　　 B. C.　　　　　　　　　　 D. 解：設(shè).∵，∴， ∴，∴.∵點在圓上運動，∴，∴，即，∴點的軌跡方程是，故選(C). 變式2：已知定點，點在圓上運動，的平分線交于點，則點的軌跡方程是　　　　　 . 解：設(shè).∵是的平分線，∴， ∴.由變式1可得點的軌跡方程是. 變式3：已知直線與圓相交于、兩點，以、為鄰邊作平行四邊形，求點的軌跡方程. 解：設(shè)，的中點為.∵是平行四邊形，∴是的中點，∴點的坐標為，且.∵直線經(jīng)過定點，∴，∴，化簡得.∴點的軌跡方程是.

15.(人教A版必修2第144頁練習第3題) 某圓拱橋的水面跨度20，拱高4.現(xiàn)有一船寬10，水面以上高3，這條船能否從橋下通過？ 變式1：某圓拱橋的水面跨度是20，拱高為4.現(xiàn)有一船寬9，在水面以上部分高3，故通行無阻.近日水位暴漲了1.5，為此，必須加重船載，降低船身.當船身至少應(yīng)降低 　　　　 時，船才能通過橋洞.(結(jié)果精確到0.01) 解：建立直角坐標系，設(shè)圓拱所在圓的方程為. ∵圓經(jīng)過點(10，0)，(0，4)，∴，解得. ∴圓的方程是.　 令，得. 故當水位暴漲1.5后，船身至少應(yīng)降低，船才能通過橋洞. 變式2：據(jù)氣象臺預(yù)報：在城正東方300的海面處有一臺風中心，正以每小時40的速度向西北方向移動，在距臺風中心250以內(nèi)的地區(qū)將受其影響.從現(xiàn)在起經(jīng)過約 　　　 ，臺風將影響城，持續(xù)時間約為　　　 .(結(jié)果精確到0.1) 解：以為原點，正東方向所在直線為軸，建立直角坐標系，則臺風中心的移動軌跡是，受臺風影響的區(qū)域邊界的曲線方程是. 依題意有，解得. ∴. ∴從現(xiàn)在起經(jīng)過約2.0，臺風將影響城，持續(xù)時間約為6.6. 變式3：有一種商品，、兩地均有出售，且兩地價格相同.某地區(qū)的居民從兩地購買此種商品后往回販運時，單位距離的運費地是地的3倍.已知、兩地的距離是10，顧客購買這種商品選擇地或地的標準是：包括運費在內(nèi)的總費用比較便宜.求、兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀，并指出在曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民如何選擇購貨地點. 解：以的中點為原點，所在直線為軸，建立直角坐標系，則，.設(shè)是售貨區(qū)域分界線上的任意一點，單位距離的運費為元，則，∴，化簡得.∴、兩地售貨區(qū)域的分界線是以為圓心，為半徑的圓.因此在曲線內(nèi)的居民選擇去地購貨，在曲線外的居民選擇去地購貨，在曲線上的居民去、兩地購貨均可.