(二)圓錐曲線
1.橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程
2.雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程:
3.拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程:
直線與圓錐曲線:
注意點(diǎn):
(1)注意防止由于“零截距”和“無斜率”造成丟解
(2)要學(xué)會(huì)變形使用兩點(diǎn)間距離公式,當(dāng)已知直線的斜率 時(shí),公式變形為或;當(dāng)已知直線的傾斜角時(shí),還可以得到或
(3)靈活使用定比分點(diǎn)公式,可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.
(4)會(huì)在任何條件下求出直線方程.
(5)注重運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想研究平面圖形的性質(zhì)
解析幾何中的一些常用結(jié)論:
1.直線的傾斜角α的范圍是[0,π)
2.直線的傾斜角與斜率的變化關(guān)系:當(dāng)傾斜角是銳角是,斜率k隨著傾斜角α的增大而增大。當(dāng)α是鈍角時(shí),k與α同增減。
3.截距不是距離,截距相等時(shí)不要忘了過原點(diǎn)的特殊情形。
4.兩直線:L1
A1x+B1y+C1=0 L2: A2x+B2y+C2=0
L1⊥L2A1A2+B1B2=0
5.兩直線的到角公式:L1到L2的角為θ,tanθ=
夾角為θ,tanθ=|| 注意夾角和到角的區(qū)別
6.點(diǎn)到直線的距離公式,兩平行直線間距離的求法。
7.有關(guān)對(duì)稱的一些結(jié)論
① 點(diǎn)(a,b)關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)、直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別是
(a,-b),(-a,b),(-a,-b),(b,a)
② 如何求點(diǎn)(a,b)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對(duì)稱點(diǎn)
③ 直線Ax+By+C=0關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)、直線y=x的對(duì)稱的直線方程分別是什么,關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱的直線方程有時(shí)什么?
④ 如何處理與光的入射與反射問題?
8.曲線f(x,y)=0關(guān)于下列點(diǎn)和線對(duì)稱的曲線方程為:
(1)點(diǎn)(a.b)
(2)x軸
(3)y軸
(4)原點(diǎn)
(5)直線y=x
(6)直線y=-x
(7)直線x=a
9.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的判別轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系。
點(diǎn)P(x0,y0),圓的方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.
如果(x0-a)2+(y0-b)2>r2點(diǎn)P(x0,y0)在圓外;
如果 (x0-a)2+(y0-b)2<r2點(diǎn)P(x0,y0)在圓內(nèi);
如果 (x0-a)2+(y0-b)2=r2點(diǎn)P(x0,y0)在圓上。
10.圓上一點(diǎn)的切線方程:點(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2=r2上,那么過點(diǎn)P的切線方程為:x0x+y0y=r2.
11.過圓外一點(diǎn)作圓的切線,一定有兩條,如果只求出了一條,那么另外一條就是與x軸垂直的直線。
12.直線與圓的位置關(guān)系,通常轉(zhuǎn)化為圓心距與半徑的關(guān)系,或者利用垂徑定理,構(gòu)造直角三角形解決弦長(zhǎng)問題。d>r相離 d=r相切 d<r相交
13.圓與圓的位置關(guān)系,經(jīng)常轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距與兩圓的半徑之間的關(guān)系。設(shè)兩圓的圓心距為d,兩圓的半徑分別為r,R
d>r+R兩圓相離 d=r+R兩圓相外切
|R-r|<d<r+R兩圓相交 d=|R-r|兩圓相內(nèi)切
d<|R-r|兩圓內(nèi)含 d=0,兩圓同心。
14.兩圓相交弦所在直線方程的求法:
圓C1的方程為:x2+y2+D1x+E1y+C1=0.
圓C2的方程為:x2+y2+D2x+E2y+C2=0.
把兩式相減得相交弦所在直線方程為:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0
15.圓上一定到某點(diǎn)或者某條直線的距離的最大、最小值的求法。
16.焦半徑公式:在橢圓=1中,F(xiàn)1、F2分別左右焦點(diǎn),P(x0,y0)是橢圓是一點(diǎn),則:(1)|PF1|=a+ex0
|PF2|=a-ex0
(2)三角形PF1F2的面積如何計(jì)算
17.圓錐曲線中到焦點(diǎn)的距離問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離。
18.直線y=kx+b和圓錐曲線f(x,y)=0交于兩點(diǎn)P1(x1,y1)
,P2(x2,y2)
則弦長(zhǎng)P1P2=
19.雙曲線的漸近線的求法(注意焦點(diǎn)的位置)已知雙曲線的漸近線方程如何設(shè)雙曲線的方程。
20.拋物線中與焦點(diǎn)有關(guān)的一些結(jié)論:(要記憶)
解題思路與方法:
高考試題中的解析幾何的分布特點(diǎn)是除在客觀題中有4個(gè)題目外,就是在解答題中有一個(gè)壓軸題.也就是解析幾何沒有中檔題.且解析幾何壓軸題所考查的內(nèi)容是求軌跡問題、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系、關(guān)于圓錐曲線的最值問題等.其中最重要的是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.在復(fù)習(xí)過程中要注意下述幾個(gè)問題:
(1)在解答有關(guān)圓錐曲線問題時(shí),首先要考慮圓錐曲線焦點(diǎn)的位置,對(duì)于拋物線還應(yīng)同時(shí)注意開口方向,這是減少或避免錯(cuò)誤的一個(gè)關(guān)鍵.
(2)在考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系或兩圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí),可以利用方程組消元后得到二次方程,用判別式進(jìn)行判斷.但對(duì)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí),直線與雙曲線的漸近線平行時(shí),不能使用判別式,為避免繁瑣運(yùn)算并準(zhǔn)確判斷特殊情況,此時(shí)要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.畫出方程所表示的曲線,通過圖形求解. 當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí):涉及弦長(zhǎng)問題,常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)(即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式);涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問題,常用“差分法”設(shè)而不求,將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來,相互轉(zhuǎn)化.同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件,尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化,往往就能事半功倍.
(3)求圓錐曲線方程通常使用待定系數(shù)法,若能據(jù)條件發(fā)現(xiàn)符合圓錐曲線定義時(shí),則用定義求圓錐曲線方程非常簡(jiǎn)捷.在處理與圓錐曲線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線有關(guān)問題,也可反用圓錐曲線定義簡(jiǎn)化運(yùn)算或證明過程.
一般求已知曲線類型的曲線方程問題,可采用“先定形,后定式,再定量”的步驟.
定形--指的是二次曲線的焦點(diǎn)位置與對(duì)稱軸的位置.
定式--根據(jù)“形”設(shè)方程的形式,注意曲線系方程的應(yīng)用,如當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定在哪個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí),可設(shè)方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0).
定量--由題設(shè)中的條件找到“式”中特定系數(shù)的等量關(guān)系,通過解方程得到量的大小.
(4)在解與焦點(diǎn)三角形(橢圓、雙曲線上任一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形)有關(guān)的命題時(shí),一般需使用正余弦定理、和分比定理及圓錐曲線定義.
(5)要熟練掌握一元二次方程根的判別式和韋達(dá)定理在求弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦、定比分點(diǎn)弦、弦對(duì)定點(diǎn)張直角等方面的應(yīng)用.
(6)求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程是解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容之一,它是各種知識(shí)的綜合運(yùn)用,具有較大的靈活性,求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的實(shí)質(zhì)是將“曲線”化成“方程”,將“形”化成“數(shù)”,使我們通過對(duì)方程的研究來認(rèn)識(shí)曲線的性質(zhì).
求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的常用方法有:直接法、定義法、幾何法、代入轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法、交軌法等,解題時(shí),注意求軌跡的步驟:建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍.
(7)參數(shù)方程,請(qǐng)大家熟練掌握公式,后用化歸的思想轉(zhuǎn)化到普通方程即可求解.