(二)圓錐曲線
1.橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程
2.雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程:
3.拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程:
直線與圓錐曲線:
注意點:
(1)注意防止由于“零截距”和“無斜率”造成丟解
(2)要學(xué)會變形使用兩點間距離公式,當(dāng)已知直線的斜率 時,公式變形為或;當(dāng)已知直線的傾斜角時,還可以得到或
(3)靈活使用定比分點公式,可以簡化運算.
(4)會在任何條件下求出直線方程.
(5)注重運用數(shù)形結(jié)合思想研究平面圖形的性質(zhì)
解析幾何中的一些常用結(jié)論:
1.直線的傾斜角α的范圍是[0,π)
2.直線的傾斜角與斜率的變化關(guān)系:當(dāng)傾斜角是銳角是,斜率k隨著傾斜角α的增大而增大。當(dāng)α是鈍角時,k與α同增減。
3.截距不是距離,截距相等時不要忘了過原點的特殊情形。
4.兩直線:L1
A1x+B1y+C1=0 L2: A2x+B2y+C2=0
L1⊥L2A1A2+B1B2=0
5.兩直線的到角公式:L1到L2的角為θ,tanθ=
夾角為θ,tanθ=|| 注意夾角和到角的區(qū)別
6.點到直線的距離公式,兩平行直線間距離的求法。
7.有關(guān)對稱的一些結(jié)論
① 點(a,b)關(guān)于x軸、y軸、原點、直線y=x的對稱點分別是
(a,-b),(-a,b),(-a,-b),(b,a)
② 如何求點(a,b)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對稱點
③ 直線Ax+By+C=0關(guān)于x軸、y軸、原點、直線y=x的對稱的直線方程分別是什么,關(guān)于點(a,b)對稱的直線方程有時什么?
④ 如何處理與光的入射與反射問題?
8.曲線f(x,y)=0關(guān)于下列點和線對稱的曲線方程為:
(1)點(a.b)
(2)x軸
(3)y軸
(4)原點
(5)直線y=x
(6)直線y=-x
(7)直線x=a
9.點和圓的位置關(guān)系的判別轉(zhuǎn)化為點到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系。
點P(x0,y0),圓的方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.
如果(x0-a)2+(y0-b)2>r2點P(x0,y0)在圓外;
如果 (x0-a)2+(y0-b)2<r2點P(x0,y0)在圓內(nèi);
如果 (x0-a)2+(y0-b)2=r2點P(x0,y0)在圓上。
10.圓上一點的切線方程:點P(x0,y0)在圓x2+y2=r2上,那么過點P的切線方程為:x0x+y0y=r2.
11.過圓外一點作圓的切線,一定有兩條,如果只求出了一條,那么另外一條就是與x軸垂直的直線。
12.直線與圓的位置關(guān)系,通常轉(zhuǎn)化為圓心距與半徑的關(guān)系,或者利用垂徑定理,構(gòu)造直角三角形解決弦長問題。d>r相離 d=r相切 d<r相交
13.圓與圓的位置關(guān)系,經(jīng)常轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距與兩圓的半徑之間的關(guān)系。設(shè)兩圓的圓心距為d,兩圓的半徑分別為r,R
d>r+R兩圓相離 d=r+R兩圓相外切
|R-r|<d<r+R兩圓相交 d=|R-r|兩圓相內(nèi)切
d<|R-r|兩圓內(nèi)含 d=0,兩圓同心。
14.兩圓相交弦所在直線方程的求法:
圓C1的方程為:x2+y2+D1x+E1y+C1=0.
圓C2的方程為:x2+y2+D2x+E2y+C2=0.
把兩式相減得相交弦所在直線方程為:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0
15.圓上一定到某點或者某條直線的距離的最大、最小值的求法。
16.焦半徑公式:在橢圓=1中,F(xiàn)1、F2分別左右焦點,P(x0,y0)是橢圓是一點,則:(1)|PF1|=a+ex0
|PF2|=a-ex0
(2)三角形PF1F2的面積如何計算
17.圓錐曲線中到焦點的距離問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離。
18.直線y=kx+b和圓錐曲線f(x,y)=0交于兩點P1(x1,y1)
,P2(x2,y2)
則弦長P1P2=
19.雙曲線的漸近線的求法(注意焦點的位置)已知雙曲線的漸近線方程如何設(shè)雙曲線的方程。
20.拋物線中與焦點有關(guān)的一些結(jié)論:(要記憶)
解題思路與方法:
高考試題中的解析幾何的分布特點是除在客觀題中有4個題目外,就是在解答題中有一個壓軸題.也就是解析幾何沒有中檔題.且解析幾何壓軸題所考查的內(nèi)容是求軌跡問題、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系、關(guān)于圓錐曲線的最值問題等.其中最重要的是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.在復(fù)習(xí)過程中要注意下述幾個問題:
(1)在解答有關(guān)圓錐曲線問題時,首先要考慮圓錐曲線焦點的位置,對于拋物線還應(yīng)同時注意開口方向,這是減少或避免錯誤的一個關(guān)鍵.
(2)在考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系或兩圓錐曲線的位置關(guān)系時,可以利用方程組消元后得到二次方程,用判別式進行判斷.但對直線與拋物線的對稱軸平行時,直線與雙曲線的漸近線平行時,不能使用判別式,為避免繁瑣運算并準(zhǔn)確判斷特殊情況,此時要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.畫出方程所表示的曲線,通過圖形求解. 當(dāng)直線與圓錐曲線相交時:涉及弦長問題,常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計算弦長(即應(yīng)用弦長公式);涉及弦長的中點問題,常用“差分法”設(shè)而不求,將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標(biāo)聯(lián)系起來,相互轉(zhuǎn)化.同時還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件,尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化,往往就能事半功倍.
(3)求圓錐曲線方程通常使用待定系數(shù)法,若能據(jù)條件發(fā)現(xiàn)符合圓錐曲線定義時,則用定義求圓錐曲線方程非常簡捷.在處理與圓錐曲線的焦點、準(zhǔn)線有關(guān)問題,也可反用圓錐曲線定義簡化運算或證明過程.
一般求已知曲線類型的曲線方程問題,可采用“先定形,后定式,再定量”的步驟.
定形--指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置.
定式--根據(jù)“形”設(shè)方程的形式,注意曲線系方程的應(yīng)用,如當(dāng)橢圓的焦點不確定在哪個坐標(biāo)軸上時,可設(shè)方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0).
定量--由題設(shè)中的條件找到“式”中特定系數(shù)的等量關(guān)系,通過解方程得到量的大小.
(4)在解與焦點三角形(橢圓、雙曲線上任一點與兩焦點構(gòu)成的三角形稱為焦點三角形)有關(guān)的命題時,一般需使用正余弦定理、和分比定理及圓錐曲線定義.
(5)要熟練掌握一元二次方程根的判別式和韋達(dá)定理在求弦長、中點弦、定比分點弦、弦對定點張直角等方面的應(yīng)用.
(6)求動點軌跡方程是解析幾何的重點內(nèi)容之一,它是各種知識的綜合運用,具有較大的靈活性,求動點軌跡方程的實質(zhì)是將“曲線”化成“方程”,將“形”化成“數(shù)”,使我們通過對方程的研究來認(rèn)識曲線的性質(zhì).
求動點軌跡方程的常用方法有:直接法、定義法、幾何法、代入轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法、交軌法等,解題時,注意求軌跡的步驟:建系、設(shè)點、列式、化簡、確定點的范圍.
(7)參數(shù)方程,請大家熟練掌握公式,后用化歸的思想轉(zhuǎn)化到普通方程即可求解.