例1．如圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點，動點P滿足：

（Ⅰ）求點P的軌跡方程；

（Ⅱ）設d為點P到直線l：的距離，若，求的值。

解：（I）由雙曲線的定義，點P的軌跡是以M、N為焦點，實軸長2a=2的雙曲線.，因此半焦距c=2，實半軸a=1，從而虛半軸b=，所以雙曲線的方程為x^2-=1.

 (II)由（I）及（21）圖，易知|PN|1,因|PM|=2|PN|²,         ①

知|PM|>|PN|,故P為雙曲線右支上的點，所以|PM|=|PN|+2.     ②

將②代入①，得2||PN|²-|PN|-2=0，解得|PN|=,所以|PN|=.

因為雙曲線的離心率e==2，直線l：x=是雙曲線的右準線，故=e=2，

所以d=|PN|，因此

變式：

在平面直角坐標系中，點P到兩點，的距離之和等于4，設點P的軌跡為．

（Ⅰ）寫出C的方程；

（Ⅱ）設直線與C交于A，B兩點．k為何值時？此時的值是多少？

解：（Ⅰ）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以為焦點，長半軸為2的橢圓．它的短半軸，故曲線C的方程為．

（Ⅱ）設，其坐標滿足

消去y并整理得，故．

，即．而，

于是．

所以時，，故．

當時，，．，

而，所以．

例2．①若為不等式組表示的平面區(qū)域，則當從－2連續(xù)變化到1時，動直線 掃過中的那部分區(qū)域的面積為 ( C  )

A．                  B．1          C．                  D．5

②在平面直角坐標系中，點的坐標分別為．如果是圍成的區(qū)域（含邊界）上的點，那么當取到最大值時，點的坐標是　_____

變式：

1．若實數(shù)x、y滿足則的取值范圍是（  D ）

A.（0，2）     B.（0，2）       C.(2,+∞)        D.[2，+∞)

2．若，且當時，恒有，則以,b為坐標點 所形成的平面區(qū)域的面積等于 (  C  )

（A）        （B）      （C）1         （D）

題型三、圓錐曲線定義的應用

例3. 已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于A、B兩點，若，則=        8

例4. 已知拋物線：，直線交于兩點，是線段的中點，過作軸的垂線交于點．

（Ⅰ）證明：拋物線在點處的切線與平行；

（Ⅱ）是否存在實數(shù)使，若存在，求的值；若不存在，說明理由．

解：（Ⅰ）如圖，設，，把代入得，

由韋達定理得，，

，點的坐標為．

設拋物線在點處的切線的方程為，

將代入上式得，直線與拋物線相切，

，．即．

（Ⅱ）假設存在實數(shù)，使，則，又是的中點， ．

由（Ⅰ）知．

軸，．

又

 ．

，解得．即存在，使．

變式：

已知雙曲線的兩個焦點為的曲線C上.

（Ⅰ）求雙曲線C的方程；

（Ⅱ）記O為坐標原點，過點Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，若△OEF的面積為求直線l的方程

解：(Ⅰ)依題意，由a²+b²=4，得雙曲線方程為（0＜a²＜4)，

將點（3，）代入上式，得.解得a²=18（舍去）或a²＝2，故所求雙曲線方程為

 (Ⅱ)依題意，可設直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，得(1－k²)x²－4kx－6=0.

∵直線I與雙曲線C相交于不同的兩點E、F,

∴   ∴k∈(－)∪(1,).

設E(x₁,y₁),F(x₂,y₂)，則由①式得x₁+x₂=于是

|EF|=

=，而原點O到直線l的距離d＝,

∴S_ΔOEF=

若S_ΔOEF＝，即解得k=±，滿足②.

故滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=和

例5．①已知雙曲線的左右焦點分別為，為的右支上一點，且，則的面積等于( C )

（Ａ）　　     （Ｂ）　　       （Ｃ）　　      （Ｄ）

②已知、是橢圓的兩個焦點，滿足的點總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（ C ）

A．          B．          C．         D．

變式：

1．設是等腰三角形，，則以為焦點且過點的雙曲線的離心率為（  B  ）

A．            B．                C．              D．

2．已知是拋物線的焦點，是上的兩個點，線段AB的中點為，則的面積等于        2

題型五、直線與圓錐曲線位置關系問題

例6．已知拋物線和三個點，過點的一條直線交拋物線于、兩點，的延長線分別交曲線于．

（1）證明三點共線；

（2）如果、、、四點共線，問：是否存在，使以線段為直徑的圓與拋物線有異于、的交點？如果存在，求出的取值范圍，并求出該交點到直線的距離；若不存在，請說明理由．

解：（1）設，

則直線的方程：，即

因在上，所以①  又直線方程：

由得：，所以

同理，，所以直線的方程：

令得

將①代入上式得，即點在直線上，所以三點共線

（2）由已知共線，所以  以為直徑的圓的方程：，由得

所以（舍去），  。要使圓與拋物線有異于的交點，則，所以存在，使以為直徑的圓與拋物線有異于的交點 ，則，所以交點到的距離為 

例7．已知中心在原點的雙曲線的一個焦點是，一條漸近線的方程是．

（Ⅰ）求雙曲線的方程；

（Ⅱ）若以為斜率的直線與雙曲線相交于兩個不同的點，且線段的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求的取值范圍．

解：（Ⅰ）設雙曲線的方程為，由題設得

   解得    所以雙曲線的方程為．

（Ⅱ）設直線的方程為，點，的坐標滿足方程組

將①式代入②式，得，整理得．

此方程有兩個不等實根，于是，且．整理得

．        ③

由根與系數(shù)的關系可知線段的中點坐標滿足

，．

從而線段的垂直平分線的方程為．

此直線與軸，軸的交點坐標分別為，．由題設可得

．整理得，．

將上式代入③式得，

整理得，．解得或．

所以的取值范圍是．

變式：

設橢圓中心在坐標原點，是它的兩個頂點，直線與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點．

（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求四邊形面積的最大值．

解：（Ⅰ）依題設得橢圓的方程為，

直線的方程分別為，．

如圖，設，其中，

且滿足方程，故．①

由知，得；

由在上知，得．，

化簡得，解得或．

（Ⅱ）根據(jù)點到直線的距離公式和①式知，點到的距離分別為

，．

又，所以四邊形的面積為

，

當，即當時，上式取等號．所以的最大值為．

反饋練習：

1．已知變量滿足約束條件則的最大值為（  B ）

A．             B．               C．                 D．

2．若圓的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線和軸相切，則該圓的標準方程是（ B  ）

A．             B．

C．                   D．

3．雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F₁、F₂，若P為其上一點，且|PF₁|=2|PE₂|，則雙曲線離心率的取值范圍為（ B  ）

A.（1，3）    B.（1，3）        C.（3，+∞）    D. [3，+∞)

4．設橢圓的右焦點與拋物線的焦點相同，離心率為，則此橢圓的方程為（  B  ）

A．            B．          C．          D．

5．雙曲線的右支上存在一點，它到右焦點及左準線的距離相等，則雙曲線離心率的取值范圍是(  C   )

A．         B．   C．      D．

6．若雙曲線的左焦點在拋物線y²=2px的準線上，則p的值為(  C  )

(A)2                   (B)3                              (C)4                   (D)4

7．已知直線與圓，則上各點到的距離的最小值為___

8．在平面直角坐標系中，橢圓的焦距為2，以O為圓心，為半徑的圓，過點作圓的兩切線互相垂直，則離心率=          

9．過橢圓的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，則的面積為        

10．已知圓．以圓與坐標軸的交點分別作為雙曲線的一個焦點和頂點，則適合上述條件的雙曲線的標準方程為          

11．已知的頂點在橢圓上，在直線上，且．

（Ⅰ）當邊通過坐標原點時，求的長及的面積；

（Ⅱ）當，且斜邊的長最大時，求所在直線的方程．

解：（Ⅰ）因為，且邊通過點，所以所在直線的方程為．

設兩點坐標分別為．由得．

所以．又因為邊上的高等于原點到直線的距離．

所以，．

（Ⅱ）設所在直線的方程為，由得．

因為在橢圓上，所以．設兩點坐標分別為，

則，，所以．

又因為的長等于點到直線的距離，即．

所以．

所以當時，邊最長，（這時）此時所在直線的方程為．

12．雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，兩條漸近線分別為，經(jīng)過右焦點垂直于的直線分別交于兩點．已知成等差數(shù)列，且與同向．

（Ⅰ）求雙曲線的離心率；（Ⅱ）設被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程．

解：（1）設，，

由勾股定理可得：

得：，，

由倍角公式，解得，則離心率．

（2）過直線方程為與雙曲線方程聯(lián)立

將，代入，化簡有

將數(shù)值代入，有 解得，得雙曲線方程為