(17)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間，并證明在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性．

(18)已知．

(Ⅰ)證明；

(Ⅱ)設(shè)的輻角為，求的值．

(19)已知VC是所在平面的一條斜線，點N是V在平面ABC上的射影，且在 的高CD上．之間的距離為．

(Ⅰ)證明∠MDC是二面角M–AB–C的平面角；

(Ⅱ)當(dāng)∠MDC=∠CVN時，證明VC；

(Ⅲ)若∠MDC=∠CVN=，求四面體MABC的體積．

(20)在1與2之間插入個正數(shù)，使這個數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入個正數(shù)，使這個數(shù)成等差數(shù)列．記．

(Ⅰ)求數(shù)列和的通項；

(Ⅱ)當(dāng)時，比較與的大小，并證明你的結(jié)論．

(21)某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛．本年度為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為，則出廠價相應(yīng)提高的比例為0.75，同時預(yù)計年銷售量增加的比例為0.6．已知年利潤=(出廠價–投入成本)年銷售量．

(Ⅰ)寫出本年度預(yù)計的年利潤與投入成本增加的比例的關(guān)系式；

(Ⅱ)為使本年度的年利潤比上年有所增加，問投入成本增加的比例應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

(22)已知拋物線．過動點M(，0)且斜率為1的直線與該拋物線交于不同的兩點A、B，．

(Ⅰ)求的取值范圍；

(Ⅱ)若線段AB的垂直平分線交軸于點N，求面積的最大值．

普通高等學(xué)校春季招生考試

數(shù)學(xué)試題(理工農(nóng)醫(yī)類)參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)

說明：

(13)已知球內(nèi)接正方體的表面積為S，那么球體積等于_______________．

(14)橢圓長軸上一個頂點為A，以A為直角頂點作一個內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形，該三角形的面積是_______________．

(15)已知、、均為銳角)，那么的最大值等于____________________．

(16)已知、是直線，、、是平面，給出下列命題：

①　　 若，則；

②若∥，，則∥；

③若不垂直于，則不可能垂直于內(nèi)的無數(shù)條直線；

④若，∥，且，則∥∥．

其中正確的命題的序號是_______________(注：把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上)

(1)集體的子集個數(shù)是

　　　 (A)32　　　　　　　 (B)31　　　　　　　 (C)16　　　　　　　 (D)15

(2)函數(shù)對于任意的實數(shù)都有

　　　 (A)　　　　　　　　　　　 (B)

　　　 (C)　　　　　　　　　 (D)

(3)

　　　 (A)0　　　　　　　　 (B)2　　　　　　　　 (C)　　　　　　　 (D)

(4)函數(shù)的反函數(shù)是

　　　 (A)　　　　　　　　　 (B)

　　　 (C)　　　　　　　　　　　　　 (D)

(5)極坐標(biāo)系中，圓的圓心的坐標(biāo)是

(A)　　　　 (B)　　　　 (C)　　　　 (D)

(6)設(shè)動點P在直線上，O為坐標(biāo)原點．以OP為直角邊、點O為直角頂點作等腰，則動點Q的軌跡是

　　　 (A)圓　　　　　　　 (B)兩條平行直線　　　　　　 (C)拋物線　　　　 (D)雙曲線

(7)已知，那么等于

　　　 (A)　　　　　　　 (B)8　　　　　　　　 (C)18　　　　　　　 (D)

(8)若A、B是銳角的兩個內(nèi)角，則點在

　　　 (A)第一象限　　　　　　 (B)第二象限　　　　　　 (C)第三象限　　　　　　 (D)第四象限

(9)如果圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么這個圓錐的頂角(圓錐軸截面中兩條母線的夾角)是

　　　 (A)　　　　　　 (B)　　　　　　 (C)　　　　　　 (D)

(10)若實數(shù)滿足，則的最小值是

　　　 (A)18　　　　　　　 (B)6　　　　　　　　 (C)　　　　　 (D)

(11)右圖是正方體的平面展開圖．在這個正方體中，

　 　　　 ①平行

　　　 ②CN與BE是異面直線

　　　 ③CN與BM成角

　　　 ④DM與BN垂直

　　　 以上四個命題中，正確命題的序號是

　　　 (A)①②③　　　　　　　 (B)②④

　　　 (C)③④　　　　　　　　　 (D)②③④

(12)根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果，預(yù)測某種家用商品從年初開始的個月內(nèi)累積的需求量(萬件)近似地滿足

　　　 按此預(yù)測，在本年度內(nèi)，需求量超過1.5萬件的月份是

　　　 (A)5月、6月　　　　　 (B)6月、7月　　　　　 (C)7月、8月　　　　　 (D)8月、9月

第Ⅱ卷(非選擇題共90分)

　 已知是復(fù)數(shù)，均為實數(shù)(為虛數(shù)單位)，且復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)的取值范圍.

　　 [解]

　　 已知是方程的兩個根中較小的根，求的值.

　　 [解]

　　　　　　　　　　　　　　 第2小題滿分8分.

　　 已知正三棱錐的體積為，側(cè)面與底面所成的二面角的大小為.

　　 (1)證明：；

　　 (2)求底面中心到側(cè)面的距離.

　 　[證明](1)

　　 [解](2)

　　　　 　　　　　　　　　　第2小題滿分8分.

　　 某市2004年底有住房面積1200萬平方米，計劃從2005年起，每年拆除20萬平方米的舊住房. 假定該市每年新建住房面積是上年年底住房面積的5%.

　　 (1)分別求2005年底和2006年底的住房面積��；

　　 (2)求2024年底的住房面積.(計算結(jié)果以萬平方米為單位，且精確到0.01)

　　 [解](1)

　　 (2)

　　　　　　　　　　　　　　 第2小題滿分6分，第3小題滿分7分.

已知函數(shù)的定義域為，且. 設(shè)點是函數(shù)圖象上的任意一點，過點分別作直線和軸的垂線，垂足分別為.

　　 (1)求的值；

　　 (2)問：是否為定值？若是，則求出該定值，若不是，則說明理由；

　　 (3)設(shè)為坐標(biāo)原點，求四邊形面積的最小值.

　　 [解](1)

　　 (2)

　　 (3)

　　　　　　　　　　　　　　 第2小題滿分8分. 第3小題滿分5分.

(1)求右焦點坐標(biāo)是，且經(jīng)過點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知橢圓的方程是. 設(shè)斜率為的直線，交橢圓于兩點，的中點為. 證明：當(dāng)直線平行移動時，動點在一條過原點的定直線上；

(3)利用(2)所揭示的橢圓幾何性質(zhì)，用作圖方法找出下面給定橢圓的中心，簡要寫出作圖步驟，并在圖中標(biāo)出橢圓的中心.

　　 [解](1)

　　 [證明](2)

[解](3)

普通高等學(xué)校春季招生考試

16. 設(shè)函數(shù)的定義域為，有下列三個命題：

(1)若存在常數(shù)，使得對任意，有，則是函數(shù)的最大值；

(2)若存在，使得對任意，且，有，則是函數(shù)

　　 的最大值；

(3)若存在，使得對任意，有，則是函數(shù)的最大值.

　　 這些命題中，真命題的個數(shù)是　　　　　　

　　 (A)0個.　　　　 (B)1個.　　　　 (C)2個.　　　 　　(D)3個.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　[答] (　　 )

15. 若是常數(shù)，則“”是“對任意，有”

　　 的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 (A)充分不必要條件.　　　　　　　 (B)必要不充分條件.

　　 (C)充要條件.　　　　　　　　　　 (D)既不充分也不必要條件.

　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[答] (　　 )

14. 在△中，若，則△是　　　　　　　 　　　　

　　 (A)­直角三角形.　　　　　　　　　 (B)等邊三角形.

　　 (C)鈍角三角形.　 　　　　　　　　(D)等腰直角三角形.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　[答] (　　 )

13. 已知直線及平面，下列命題中的假命題是　　　 　　　　　　　

　　 (A)若，，則.　 　　(B)若，，則.

　　 (C)若，，則.　　 (D)若，，則.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　[答] (　　 )

12. 已知函數(shù)，數(shù)列的通項公式是()，當(dāng)

　　 取得最小值時，　　　 .

四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的

代號寫在題后的圓括號內(nèi)，選對得 4分，否則一律得零分.

11. 函數(shù)的值域是　　　　　　　　　　　　　　　　 .