4. “”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的

A．充分不必要條件　 B．必要不充分條件　 C．充要條件　 D．既不充分也不必要條件

3. 過(guò)平行六面體任意兩條棱的中點(diǎn)作直線, 其中與平面平行的直線共有

　 A．4條　　　　　　　 B．6條　　　　　 C．8條　　　　　　　 D．12條

2. 若數(shù)列滿足: , 且對(duì)任意正整數(shù)都有, 則

　 A．　　　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

1. 函數(shù)的定義域是

　　 A．　　　　　 B．　　　　 C．　　　　　 D．

21．(本小題滿分14分)

設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)。

(Ⅰ)、求與的關(guān)系式(用表示)，并求的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)、設(shè)，。若存在使得成立，求的取值范圍。

　點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

解：(Ⅰ)f `(x)＝－[x²+(a－2)x+b－a ]e^3－x,

由f `(3)=0，得 －[3²+(a－2)3+b－a ]e^3－3＝0，即得b＝－3－2a，

則 f `(x)＝[x²+(a－2)x－3－2a－a ]e^3－x

＝－[x²+(a－2)x－3－3a ]e^3－x＝－(x－3)(x+a+1)e^3－x.

令f `(x)＝0，得x₁＝3或x₂＝－a－1，由于x＝3是極值點(diǎn)，

所以x+a+1≠0，那么a≠－4.

當(dāng)a<－4時(shí)，x₂>3＝x₁，則

在區(qū)間(－∞，3)上，f `(x)<0， f (x)為減函數(shù)；

在區(qū)間(3，―a―1)上，f `(x)>0，f (x)為增函數(shù)；

在區(qū)間(―a―1，+∞)上，f `(x)<0，f (x)為減函數(shù)。

當(dāng)a>－4時(shí)，x₂<3＝x₁，則

在區(qū)間(－∞，―a―1)上，f `(x)<0， f (x)為減函數(shù)；

在區(qū)間(―a―1，3)上，f `(x)>0，f (x)為增函數(shù)；

在區(qū)間(3，+∞)上，f `(x)<0，f (x)為減函數(shù)。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，當(dāng)a>0時(shí)，f (x)在區(qū)間(0，3)上的單調(diào)遞增，在區(qū)間(3，4)上單調(diào)遞減，那么f (x)在區(qū)間[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，

而f (0)＝－(2a+3)e³<0，f (4)＝(2a+13)e^－1>0，f (3)＝a+6，

那么f (x)在區(qū)間[0，4]上的值域是[－(2a+3)e³，a+6].

又在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)，

且它在區(qū)間[0，4]上的值域是[a²+，(a²+)e⁴]，

由于(a²+)－(a+6)＝a²－a+＝()²≥0，所以只須僅須

(a²+)－(a+6)<1且a>0，解得0<a<.

故a的取值范圍是(0，)。

20．(本小題滿分14分)

設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線。

(Ⅰ)、求橢圓的方程；

(Ⅱ)、設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)(4，0)的任意一點(diǎn)，若直線分別與橢圓相交于異于的點(diǎn)，證明點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)。

(此題不要求在答題卡上畫圖)

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問(wèn)題的能力。

解：(Ⅰ)依題意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，從而b＝.

故橢圓的方程為 .

(Ⅱ)解法1：由(Ⅰ)得A(－2，0)，B(2，0).設(shè)M(x₀，y₀).

∵M(jìn)點(diǎn)在橢圓上，∴y₀＝(4－x₀²).　　　　　　　　　　　 1

又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B，∴－2<x₀<2，由P、A、M三點(diǎn)共線可以得

P(4，).

從而＝(x₀－2，y₀)，

＝(2，).

∴·＝2x₀－4+＝(x₀²－4+3y₀²).　　　 2

將1代入2，化簡(jiǎn)得·＝(2－x₀).

∵2－x₀>0，∴·>0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，

故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。

解法2：由(Ⅰ)得A(－2，0)，B(2，0).設(shè)M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，

則－2<x₁<2，－2<x₂<2，又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(，)，

依題意，計(jì)算點(diǎn)B到圓心Q的距離與半徑的差

－＝(－2)²+()²－[(x₁－x₂)²+(y₁－y₂)²]

　　　　　　　　 ＝(x₁－2) (x₂－2)+y₁y₁　　　　　　　　 　　3

又直線AP的方程為y＝，直線BP的方程為y＝，

而點(diǎn)兩直線AP與BP的交點(diǎn)P在準(zhǔn)線x＝4上，

∴，即y₂＝　　　　　　　　　　　 4

又點(diǎn)M在橢圓上，則，即　　　　 5

于是將4、5代入3，化簡(jiǎn)后可得－＝.

從而，點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。

19．(本小題滿分10分)

在某校舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，全體參賽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)近似服從正態(tài)分布。已知成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的學(xué)生有12名。

(Ⅰ)、試問(wèn)此次參賽學(xué)生總數(shù)約為多少人？

(Ⅱ)、若該校計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽成績(jī)排在前50名的學(xué)生，試問(wèn)設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線約為多少分？

可共查閱的(部分)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1	0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821	0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826	0.888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830	0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834	0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838	0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842	0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846	0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850	0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854	0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查正態(tài)分布，對(duì)獨(dú)立事件的概念和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查閱，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

解：(Ⅰ)設(shè)參賽學(xué)生的分?jǐn)?shù)為，因?yàn)?sub>-N(70，100)，由條件知，

P(≥90)＝1－P(<90)＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－0.9772＝0.228.

這說(shuō)明成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28%，因此，

參賽總?cè)藬?shù)約為≈526(人)。

(Ⅱ)假定設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線為x分，則

P(≥x)＝1－P(<x)＝1－F(90)＝1－＝＝0.0951，

即＝0.9049，查表得≈1.31，解得x＝83.1.

故設(shè)獎(jiǎng)得分?jǐn)?shù)線約為83.1分。

18．(本小題滿分12分)

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點(diǎn)，。

(Ⅰ)、試確定，使直線與平面所成角的正切值為；

(Ⅱ)、在線段上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得對(duì)任意的，D₁Q在平面上的射影垂直于，并證明你的結(jié)論。

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查線面關(guān)系、直線于平面所成的角的有關(guān)知識(shí)及空間想象能力和推理運(yùn)算能力，考查運(yùn)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

解法1：(Ⅰ)連AC，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,AP與平面相交于點(diǎn)，,連結(jié)OG，因?yàn)?/p>

PC∥平面，平面∩平面APC＝OG,

故OG∥PC，所以，OG＝PC＝.

又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面，

故∠AGO是AP與平面所成的角.

在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝.

所以，當(dāng)m＝時(shí)，直線AP與平面所成的角的正切值為.

(Ⅱ)可以推測(cè)，點(diǎn)Q應(yīng)當(dāng)是A_IC_I的中點(diǎn)O₁，因?yàn)?/p>

D₁O₁⊥A₁C₁, 且 D₁O₁⊥A₁A ，所以 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，

又AP平面ACC₁A₁，故 D₁O₁⊥AP.

那么根據(jù)三垂線定理知，D₁O₁在平面APD₁的射影與AP垂直。

17．(本小題滿分13分)

已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上。

(Ⅰ)、求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)、設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使得對(duì)所有都成立的最小正整數(shù)m；

點(diǎn)評(píng)：本小題考查二次函數(shù)、等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本的運(yùn)算技能，考查分析問(wèn)題的能力和推理能力。

解：(Ⅰ)設(shè)這二次函數(shù)f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,則 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 ,　 b=－2, 所以　 f(x)＝3x²－2x.

又因?yàn)辄c(diǎn)均在函數(shù)的圖像上，所以＝3n²－2n.

當(dāng)n≥2時(shí)，a_n＝S_n－S_n－1＝(3n²－2n)－＝6n－5.

當(dāng)n＝1時(shí)，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 ()

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知＝＝，

故T_n＝＝＝(1－).

因此，要使(1－)<()成立的m,必須且僅須滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.

16．(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)，其中向量，，，。

(Ⅰ)、求函數(shù)的最大值和最小正周期；

(Ⅱ)、將函數(shù)的圖像按向量平移，使平移后得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱，求長(zhǎng)度最小的。

　 點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算方法、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)及圖像的基本知識(shí)，考查推理和運(yùn)算能力。

　 解：(Ⅰ)由題意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)

　　　　　　　 ＝sin²x－2sinxcosx+3cos²x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).

所以，f(x)的最大值為2+，最小正周期是＝.

(Ⅱ)由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，

于是d＝(，－2)，k∈Z.

因?yàn)?i>k為整數(shù)，要使最小，則只有k＝1，此時(shí)d＝(―，―2)即為所求.