1.[2005年山東省臨沂市數(shù)學(xué)模擬試題(文史類)]

　　 如圖所示，和都是等腰直角三角形，且它們所在的平面互相垂直，

　　 (I)求異面直線AD、BC所成的角。

　　 (II)設(shè)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，問P、B兩點(diǎn)間的距離多少時(shí)？與所在平面成角；

7．(江安中學(xué))如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=4,M為AA₁的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC₁到M點(diǎn)的最短路線長(zhǎng)為，設(shè)這條最短路線與C₁C的交點(diǎn)為N。求

4)　　　　 該三棱柱的側(cè)面展開圖的對(duì)角線長(zhǎng)；

5)　　　　 PC和NC的長(zhǎng)；

6)　　　　 平面NMP和平面ABC所成二面角(銳角)的大小(用反三角函數(shù)表示)

正解：①正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面展開圖是一個(gè)長(zhǎng)為9，寬為4的矩形，其對(duì)角線長(zhǎng)為

②如圖1，將側(cè)面BC₁旋轉(zhuǎn)使其與側(cè)面AC₁在同一平面上，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P₁的位置，連接MP₁，則MP₁就是由點(diǎn)P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過CC₁到點(diǎn)M的最短路線。

設(shè)PC＝，則P₁C＝，

在

③連接PP₁(如圖2)，則PP₁就是NMP與平面ABC的交線，作NH于H，又CC₁平面ABC，連結(jié)CH，由三垂線定理得，。

誤解：①不會(huì)找 的線段在哪里。

②不知道利用側(cè)面BCC₁ B₁展開圖求解。

③不會(huì)找二面角的平面角。

6．(江安中學(xué))如圖在三棱柱ABC-中，已知底面ABC是底角等于，底邊AC=的等腰三角形，且，面與面ABC成，與交于點(diǎn)E。

1)　　　　 求證：；

2)　　　　 求異面直線AC與的距離；

3)　　　　 求三棱錐的體積。

正解：①證：取AC中點(diǎn)D，連ED，

//

又是底角等于的等腰，

②解：由①知

在是異面直線AC與的距離，為

③連

誤解：求體積，不考慮用等積法，有時(shí)，硬算導(dǎo)致最后錯(cuò)解。

5．(蒲中)斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)等于b，一條側(cè)棱AA₁與底面相鄰兩邊AB、AC都成45⁰角，求這個(gè)三棱柱的側(cè)面積。

解：過點(diǎn)B作BM⊥AA₁于M，連結(jié)CM，在△ABM和△ACM中，∵AB=AC，∠MAB=∠MAC=45⁰，MA為公用邊，∴△ABM≌△ACM，∴∠AMC=∠AMB=90⁰，∴AA₁⊥面BHC，即平面BMC為直截面，又BM=CM=ABsin45⁰=a，∴BMC周長(zhǎng)為2xa+a=(1+)a，且棱長(zhǎng)為b，∴S_側(cè)=(1+)ab

點(diǎn)評(píng)：本題易錯(cuò)點(diǎn)一是不給出任何證明，直接計(jì)算得結(jié)果；二是作直截面的方法不當(dāng)，即“過BC作平面與AA₁垂直于M”；三是由條件“∠A₁AB=∠A₁AC∠AA₁在底面ABC上的射影是∠BAC的平分線”不給出論證。

4．(一中)點(diǎn)是邊長(zhǎng)為4的正方形的中心，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)．沿對(duì)角線把正方形折成直二面角D－AC－B．

(Ⅰ)求的大小；

(Ⅱ)求二面角的大小．

解法一：(Ⅰ)如圖，過點(diǎn)E作EG⊥AC，垂足為G，過點(diǎn)F作FH⊥AC，垂足為H，則，．

因?yàn)槎�面�?i style='mso-bidi-font-style:normal'>D－AC－B為直二面角，

又在中，，

．

．　

(Ⅱ)過點(diǎn)G作GM垂直于FO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連EM．

∵二面角D－AC－B為直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交線為AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂線定理，得EM⊥OF．

∴就是二面角的平面角．

在RtEGM中，，，，

∴．∴．

所以，二面角的大小為．

解法二：(Ⅰ)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系O－xyz，

則，．

．

．

(Ⅱ)設(shè)平面OEF的法向量為．

由得

解得．

所以，．

又因?yàn)槠矫?i style='mso-bidi-font-style:normal'>AOF的法向量為，　　

．∴．

所以，二面角的大小為．

3．(石莊中學(xué))如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=5，AD=8，AA₁=4，M為B₁C₁上一點(diǎn)，且B₁M=2，點(diǎn)N在線段A₁D上，A₁D⊥AN，求：　 (1) ；

　　　 (2) 直線AD與平面ANM所成的角的大小；

　　　 (3) 平面ANM與平面ABCD所成角(銳角)的大小.

　　　 解：(1) 以A為原點(diǎn)，AB、AD、AA₁所在直線　　　 為x軸，y軸，z軸.

　　　 則D(0,8,0)，A₁ (0，0，4)，M(5,2,4)

　　　 )　

　　 ∵ ∴

　　　 (2) 由(1)知A₁D⊥AM，又由已知A₁D⊥AN，平面AMN，垂足為N.

　　　 因此AD與平面所成的角即是

　　　 易知

　　　 (3) ∵平面ABCD，A₁N平面AMN，

　　 ∴分別成為平面ABCD和平面AMN的法向量。

　　　 設(shè)平面AMN與平面ABCD所成的角(銳角)為，則

2.　　 (如中)一個(gè)棱長(zhǎng)為6cm的密封正方體盒子中放一個(gè)半徑為1cm的小球，無論怎樣搖動(dòng)盒子，求小球在盒子不能到達(dá)的空間的體積。

錯(cuò)解：認(rèn)為是正方體的內(nèi)切球。用正方體的體積減去內(nèi)切球的體積。

錯(cuò)誤原因是空間想像力不夠。

正解：在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)處的單位立方體空間內(nèi)，小球不能到達(dá)的空間為：，除此之外，在以正方體的棱為一條棱的12個(gè)的正四棱柱空間內(nèi)，小球不能到達(dá)的空間共為。其他空間小球均能到達(dá)。故小球不能到達(dá)的空間體積為：。

1.　　　 (如中)由平面外一點(diǎn)P引平面的三條相等的斜線段，斜足分別為ABC，O為⊿ABC的外心，求證：。

錯(cuò)解：因?yàn)镺為⊿ABC的外心，所以O(shè)A＝OB＝OC，又因?yàn)镻A＝PB＝PC，PO公用，所以⊿POA，⊿POB，⊿POC都全等，所以POA＝POB＝POC＝RT，所以。

錯(cuò)解分析：上述解法中POA＝POB＝POC＝RT，是對(duì)的，但它們?yōu)槭裁词侵苯悄�？這里缺少必要的證明。

正解：取BC的中點(diǎn)D，連PD，OD，

29．(案中)點(diǎn)P在直徑為2的球面上，過P作兩兩垂直的三條弦，若其中一條弦長(zhǎng)是另一條弦長(zhǎng)的2倍，則這三條弦長(zhǎng)之和為最大值是　　　　　

正確答案：

錯(cuò)誤原因：找不到解題思路

28．(案中)在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是AB和AD的中點(diǎn)，則點(diǎn)A₁到平面為EF的距離為　　　　　　　

正確答案：

錯(cuò)誤原因：不少學(xué)生能想到用等積法解，但運(yùn)算存在嚴(yán)重問題。