8． (2004廣東)如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2。E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EB=BF=1。求直線EC₁與FD₁所成的角的余弦值。

解：延長BA至點(diǎn)E₁,使AE₁=1,連結(jié)E₁F、DE₁、D₁E₁、DF，有D₁C₁//E₁E, D₁C₁=E₁E,則四邊形D₁E₁EC₁是平行四邊形。則E₁D₁//EC₁.于是∠E₁D₁F為直線與所成的角。

在Rt△BE₁F中，.

. 在Rt△D₁DE₁中,

在Rt△D₁DF中,

在△E₁FD₁中,由余弦定理得：

∴直線與所成的角的余弦值為.

7.已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的邊長為a，E、F分別是棱A₁B₁、CD的中點(diǎn).

(1)證明：截面C₁EAF⊥平面ABC₁.

(2)求點(diǎn)B到截面C₁EAF的距離.

證明(1)：連結(jié)EF、AC₁和BC₁，易知四邊形EB₁CF是平行四邊形，從而EF∥B₁C，直線B₁C⊥BC₁且B₁C⊥AB，則直線B₁C⊥平面ABC₁，得EF⊥平面ABC₁.而EF平面C₁EAF，得平面C₁EAF⊥平面ABC1.

解(2)：在平面ABC₁內(nèi)，過B作BH，使BH⊥AC₁，H為垂足，則BH的長就是點(diǎn)B到平面C₁EAF的距離，在直角三角形中，BH===.

6.已知l₁、l₂是兩條異面直線，α、β、γ是三個(gè)平面依次互相平行，l₁、l₂分別交α、β、γ于A、B、C和D、E、F，AB=4，BC=12，DF=10，又l₁與α成30°角，則β與γ的距離是__________；DE=__________.

◆答案： 1-4．DAAB；　 5. ;　 6.　 6 、 2.5；　

[解答題]

5.如圖，在正三棱柱中，．若二面角的大小為，則點(diǎn)到平面的距離為_____．

4.一個(gè)山坡面與水平面成120⁰的二面角，坡腳的水平線(即二面角的棱)為AB，甲沿山坡自P朝垂直于AB的方向走30m，同時(shí)乙沿水平面自Q朝垂直于AB的方向走30m，P、Q都是AB上的點(diǎn)，若PQ=10m，這時(shí)甲、乙2個(gè)人之間的距離為　　　　　　　　 (　 )

A.　　　 B.　　 C.　　　 D.

3.平面α內(nèi)的∠MON=60°，PO是α的斜線，PO=3，∠POM=∠PON=45°，那么點(diǎn)P到平面α的距離　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A. 　　B.　 C. 　 D.

2.異面直線a，b，a⊥b，c與a成30⁰，則c與b成角范圍是　　　　　 (　 )

A. [60⁰，90⁰]　　　 B.[30⁰，90⁰]　　

C.[60⁰，120⁰]　　　 D.[30⁰，120⁰]

同步練習(xí) 　9.5空間的角和距離

1.正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，E是CC₁的中點(diǎn)，則E到A₁B的距離是　 (　 )

A. a 　　 B. a C. a　　 　 D. a

[例1]如圖，三棱錐D-ABC中，平面ABD、平面ABC均為等腰直角三角形，∠ABC=∠BAD=90⁰，其腰BC=a，且二面角D-AB-C=60⁰.

(1)　　　　　 求異面直線DA與BC所成的角；

(2)　　　　　 求異面直線BD與AC所成的角；

(3)　　　　　 求D到BC的距離；

(4)　　　　　 求異面直線BD與AC的距離.

解析：(1)DA與BC成60⁰角

(2)設(shè)BE中點(diǎn)為O，DE中點(diǎn)為F，連OF，則OF//BD，求∠AOF即為

異面直線BD與AC成角在ΔAOF中可求得∠AOF =arccos

(3)∵ BA⊥平面ADE ∴ 平面DAE⊥平面ABC故取AE中點(diǎn)M，則有DM⊥平面ABC；取BC中點(diǎn)N，由MN⊥BC，根據(jù)三垂線定理，DN⊥BC ∴ DN是D到BC的距離

在△DMN中，DM=a，MN=a　 ∴ DN=a

　 (4)∵ BF平面BDF，AC平面BDF，AC∥BF

∴ AC∥平面BDF； 又BD平面BDF

∴ AC與BD的距離即AC到平面BDF的距離

∵ ，

∴

，

即異面直線BD與AC的距離為

◆評(píng)注：三棱錐的等體積變換求高，也是求點(diǎn)到面距離的常用方法.

[例2](2006邯鄲二模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥DC,AB=4,AD=DC=2,側(cè)面PAD是正三角形,且與底面垂直,M是PB的中點(diǎn),

(Ⅰ) 求證：CM∥側(cè)面PAD；

(Ⅱ)求直線CM與底面ABCD所成的角；

(Ⅲ)求側(cè)面PBC與側(cè)面PAD所成二面角的大小

解：(Ⅰ)證明：作MN∥AB交AP于N,連結(jié)DN,

則MN∥AB∥CD,且

　∴CM∥ND,CM∥平面PAD

(Ⅱ)∵CM∥ND, ∴ND與平面ABCD所成的角為所求.

∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，∴ND在平面ABCD上的射影為AD

∴∠AND為所求； ∵⊿PAD是正三角形，N是PA的中點(diǎn)

∴CM與底面所成的角為30º.

(Ⅲ)延長AD、BC交于點(diǎn)E,連結(jié)P、E.

則PE為所求二面角的棱，且AD=DE=PD

所以，∠APE=90º，AP⊥PE

又∵AB⊥AD,平面PAD⊥底面ABCD

　 ∴AB⊥平面PAE

∴BP⊥PE, ∠BPA為所求二面角的平面角

tan∠BPA=

所以，側(cè)面PBC與側(cè)面PAD所的角為arctan2

[例3]如圖，已知二面角α-PQ-β為60°，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在平面α和平面　　　　 β 內(nèi)，點(diǎn)C在棱PQ上，∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=a.

(1)求證：AB⊥PQ；

(2)求點(diǎn)B到平面α的距離；

(3)設(shè)R是線段CA上的一點(diǎn)，直線BR與平面α所成的角為45°，求線段CR的長度.

證明(1)：在平面β內(nèi)作BD⊥PQ于D，連結(jié)AD.

∵∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=a，CD公用，

∴△ACD≌△BCD . ∴∠ADC=∠BDC=　 90°，即AD⊥PQ.于是PQ⊥平面ABD，

則AB⊥PQ.

(2)解：由(1)知，∠ADB是二面角α-PQ-β的平面角，

∴∠ADB=60°.又PQ⊥平面ABD，

∴α⊥平面ABD.過B作BE⊥AD于點(diǎn)E，則BE即為B到平面α的距離.

BE=BD·sin60°=BC·sin30°·sin60°= a.

(3)　　　　　 解：連結(jié)ER，∵BE⊥α，∴∠BRE是BR與α所成的角，

即∠BRE=45°，則有BR== a.易知△ABD為正三角形，AB=AD=BD=a.

在△ABC中，由余弦定理得cos∠BCA=.

在△BCR中，設(shè)CR=x，由余弦定理得(a)²=x²+a²－2ax·，求得x₁=，x₂=(舍去，∵CR<AC=a)，故CR=.

[例4]四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面底面ABCD，已知,,,．

(Ⅰ)證明：；

(Ⅱ)求直線SD與平面SBC所成角的大�。�

解:(1)作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得底面．

因?yàn)?sub>，所以，

又，故為等腰直角三角形，，由三垂線定理，得．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，依題設(shè)，

故，由，，．

又，作，垂足為，則平面，連結(jié)．為直線與平面所成的角．

∴直線與平面SBC所成的角為．

5．“如果兩個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別對(duì)應(yīng)垂直，那麼這兩個(gè)二面角的平面角相等或互補(bǔ)”.當(dāng)兩棱不平行不成立，所以，這個(gè)命題是錯(cuò)誤的.　　 6。