3．余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA, ；

證明：如圖ΔABC中，

當A、B是鈍角時，類似可證。

正弦、余弦定理可用向量方法證明。

要掌握正弦定理、余弦定理及其變形，結(jié)合三角公式，能解有關(guān)三角形中的問題．

2．正弦定理：

證明：由三角形面積

得

畫出三角形的外接圓及直徑易得：

1．三角形基本公式：

(1)內(nèi)角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC,　 cos(A+B)= -cosC,

cos=sin,　 sin=cos

(2)面積公式：S=absinC=bcsinA=casinB

S= pr = (其中p=,　 r為內(nèi)切圓半徑)

(3)射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA

掌握正弦、余弦定理，能初步運用它們解斜三角形。

3．正確理解“焰色反應(yīng)”：

(1)它是元素的一種物質(zhì)性質(zhì)。無論是金屬離子或金屬原子均能發(fā)生焰色反應(yīng)。它屬物理變化過程。

(2)不是所有元素都有特征的焰色。只有堿金屬元素以及鈣、鍶、鋇、銅等少數(shù)金屬元素才能呈現(xiàn)焰色反應(yīng)。

(3)焰色反應(yīng)的顯色過程與氣體物質(zhì)燃燒時產(chǎn)生各色火焰的過程有著本質(zhì)的區(qū)別。焰色反應(yīng)并非金屬及其化合物自身發(fā)生燃燒反應(yīng)而產(chǎn)生各種顏色火焰的過程，而是它們的原子或離子的外圍電子被激發(fā)而產(chǎn)生的各種顏色的光的過程。

[典型例題評析]

例1 　堿金屬與鹵素所形成的化合物大都具有的性質(zhì)是(2001年上海高考題)

①高沸點 　�、谀苋苡谒� 　　③水溶液能導(dǎo)電 　�、艿腿埸c 　�、萑廴跔顟B(tài)不導(dǎo)電

A.①②③　 　　　　　　　B.③④⑤　　　 　　　　C.①④⑤　 　　　　　　　D.②③

思路分析：堿金屬與鹵素兩族元素為活潑的金屬和非金屬元素，它們形成的化合物為離子化合物，選項中①②③符合離子晶體的通性。

答案：A

方法要領(lǐng)：從物質(zhì)結(jié)構(gòu)的觀點出發(fā)，理解物質(zhì)所具體的性質(zhì)。

例2　 下列能用于撲滅金屬鈉著火的是(1996年上海高考題)

A.干冰滅火劑　　　　 B.黃沙　　　　 C.干粉(含NaHCO₃)滅火劑　　　 D.泡沫滅火劑

思路分析：Na為活潑金屬，除能與O₂反應(yīng)外，還能與H₂O、CO₂等物質(zhì)反應(yīng)。干粉中NaHCO₃受熱會分解產(chǎn)生H₂O和CO₂；泡沫滅火劑中含水等物質(zhì)。

答案：B

方法要領(lǐng)：滅火一是降低溫度，二是隔絕空氣，此外滅火劑不能和被撲救的物質(zhì)發(fā)生反應(yīng)。解題中應(yīng)根據(jù)物質(zhì)的性質(zhì)，選擇適宜的方法。

例3　 聯(lián)合制堿法中關(guān)鍵的一步是把NH₄Cl從幾乎飽和的NaHCO₃溶液中分離出來，為此根據(jù)NaCl和NH₄Cl溶解度的差異，向混合溶液中通入某種氣體，同時加入磨細的食鹽，可析出不夾帶NaHCO₃的NH₄Cl.NaCl和NH₄Cl共同存在時的溶解度曲線如圖所示，以下操作正確的是(1998年上海高考題)

思路分析：本題是電離平衡與溶解平衡統(tǒng)一在聯(lián)合制堿法中一個很好的能力考核點。由于通入NH₃使HCO₃^-與NH₃.H₂O反應(yīng)轉(zhuǎn)化為CO₃^2-、NH₄⁺與H₂O，使NaHCO₃轉(zhuǎn)化為Na₂CO₃而不易析出，又由于增加了NH₄⁺，并在降溫條件下更易使NH₄Cl析出(根據(jù)NaCl與NH₄Cl共同存在時的溶解度曲線)。這是非常巧妙的綜合分析能力的考核。

答案：D

方法要領(lǐng)：選項已指明了通過兩個操作可達目的。由溶解度曲線知溫度應(yīng)低為好；再結(jié)合：NH₄Cl(s)　 NH₄⁺+Cl^-，要析出NH₄Cl晶體，可增加[NH₄⁺]，因此可通入NH₃。

例4　 (1)分別寫出由氧在一定條件下，生成下列物質(zhì)的化學方程式(必須注明反應(yīng)條件)。(2000的廣東高考題)

①O₃:　　　　　　　　　　 　②Na₂O₂:　　　　　　　　　　 ③Na₂O:　　　　　　　　

(2)指出氧在下列各物質(zhì)中的化合價:

O₃:　　　 ; Na₂O₂:　　 ; Na₂O:　　　

(3)KO₂能吸收CO₂生成K₂CO₃和O₂,故可用作特殊情況下的氧氣來源,試寫出該反應(yīng)的化學方程式　　　　　　　　　　

(4)人體內(nèi)O₂^-離子對健康有害,使人過早衰老,但在催化劑SOD存在下可以發(fā)生如下反應(yīng),請完成該反應(yīng)的離子方程式:

　 　 　　　O₂^-+　　 H₂O = 　　H₂O₂+　 O₂+　　　　　　 　　　

思路分析：前2題為送分題(但要注意題目對反應(yīng)條件的要求)，3題關(guān)鍵是配平，4題先逆向配平：H₂O₂→O₂^-(O價態(tài)：-1到-0.5，變1價)，O₂→O₂^-(O價態(tài)：0到-0.5，變1價)，則1H₂O₂+1O₂--2O₂^-+2H₂O。由電荷守恒及H、O守恒判缺項為OH^-�；蛳扔蒆、O守恒判缺項為OH^-，再觀察配平。

答案：(1)①3O₂ 　　2O₃　 ②2Na+O₂　　　　　 Na₂O₂　 ③4Na+O₂ 　　　　　2Na₂O

(2)0；-1；-2　 (3)4KO₂+2CO₂=2K₂CO₃+3O₂　 (4)2O₂^-+2H₂O = 1H₂O₂+1O₂+2 OH^-　

方法要領(lǐng)：本題主要考查運用基本化學用語的能力。難點在第(4)小題，該題緊密聯(lián)系生活實際，對中學生來說屬于新知識、新情境。由電荷守恒可知，產(chǎn)物中必為一種陰離子，在H、O兩種元素范圍內(nèi)組合，應(yīng)為OH^-。

解題的前提是要具備由Na₂O₂與CO₂反應(yīng)到KO₂與CO₂反應(yīng)的遷移能力和從電荷守恒角度掌握缺項離子方程式的配平技能。

例5　 若以X、Y和Z代表三種元素，且知X與Y形成原子數(shù)之比為1:1的化合物甲，Y與Z也可形成原子數(shù)之比為1:1的化合物乙，又知甲分子含18個電子，乙分子含38個電子，請?zhí)羁眨?/p>

(1)元素Y在第　 周期。(2)化合物甲的分子式是　　　　　 　。(3)化合物乙的分子式是　　　　　 　。(2001年高考試測題)

思路分析：二元化合物甲的分子中含有18個電子，顯然組成它的兩種元素(X和Y)都只能在短周期。X與Y的原子數(shù)之比為1:1，因此，很容易想到可能是HCl。但是無論是H還是Cl作元素Y都不可能再形成滿足題設(shè)條件的化合物乙，于是化合物甲可考慮是H₂O₂(原子比為1:1，分子含18個電子)。進而把O作為元素Y，則化合物乙就是Na₂O₂(原子比為1:1，分子含38個電子)。這樣，本題要求填寫的三個空白均迎刃而解。

答案：(1)二　 (2)H₂O₂　 (3)Na₂O₂

方法要領(lǐng)：本題考查考生對分子組成、元素性質(zhì)和周期表的掌握程度。18個電子的微粒有：Ar、F₂、HCl、H₂S、PH₃、H₂O₂、SiH₄、N₂H₄、CH₃OH、C₂H₆、S^2-、Cl^-、K⁺、Ca²⁺、HS^-。

例6　 現(xiàn)有一定量含有Na₂O雜質(zhì)的Na₂O₂試樣，請從下圖中選用適當?shù)膶嶒炑b置，設(shè)計一個最簡單的實驗，測定Na₂O₂試樣的純度(可供選用的反應(yīng)物只有CaCO₃固體、6mol/L鹽酸和蒸餾水)。(1994全國高考題) 　　　　　 　 請?zhí)顚懴铝锌瞻? 　 (1)寫出實驗中Na₂O₂和Na₂O分別發(fā)生反應(yīng)的化學方程式_____________________。 　 　(2)應(yīng)選用的裝置是(只要求寫出圖中裝置的標號)_____________________________________。 　　(3)所選用裝置的連接順序應(yīng)是(填各接口的字母；連接膠管省略)________________________。

思路分析：由于Na₂O₂和水反應(yīng)放出O₂，而Na₂O與水反應(yīng)不放出氣體，所以最簡單的方法是通過O₂的量計算Na₂O₂的量，由于試樣的量一定，即可求出Na₂O₂的純度。

答案：方法1：(1)2Na₂O₂+2H₂O=4NaOH+O₂↑ Na₂O+H₂O=2NaOH　 (2)(G)接(A)(B)接(F) 方法2：(1)2Na₂O₂+2CO₂=2Na₂CO₃+O₂　 Na₂O+CO₂=Na₂CO₃　 (3)(G)接(D)(C)接(H)(I)[或(I)(H)]接(J)(K)(或(K)(J))接(A)(B)接(F)

方法要領(lǐng)：設(shè)計實驗確定混合體系中某一物質(zhì)的純度，一般步驟是：

(1)斷題：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 a.稱量

課題(加入某物質(zhì)或加熱)b.生成沉淀

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 c.生成氣體

通過稱量混合物增重或減輕值可確定純度；通過過濾、洗滌、烘干、稱重可確認純度；通過生成氣體壓水測氣體體積亦可確認某物質(zhì)的純度。如確認Na₂CO₃和NaHCO₃混合物中Na₂CO₃的純度用a；確認NaCl和BaCl₂中NaCl純度可用b；Na₂O₂和Na₂O中Na₂O₂的純度用c。

(2)框圖分析(以Na₂O₂和Na₂O混合物為例)

①首先應(yīng)明確設(shè)計最佳實驗的標準：Ⅰ.原理正確；Ⅱ.現(xiàn)象明顯；Ⅲ.操作簡單；Ⅳ.儀器藥品易得；Ⅴ.安全可靠

②Na₂O₂和Na₂O產(chǎn)生氣體(壓水測氣體體積)

若選CO₂與Na₂O₂反應(yīng)，則CO₂尚需制備；若選鹽酸與Na₂O₂直接反應(yīng)，則生成H₂O₂在酸性條件下分解速率沒有在堿性條件下分解速率快，故選擇水直接和混合物反應(yīng)產(chǎn)生O₂，氣體壓出水測出O₂的體積，從而可計算Na₂O₂的純度，此法最簡單，符合題意。

(3)此類題目解題模式的構(gòu)建

①思維的總過程：

啟動→發(fā)散→收斂→共識

明確問題→途徑→核心→模式

②模式

思路的設(shè)計→優(yōu)選方案→分析比較→操作程序→歸納總結(jié)

例7　 將70g過氧化鈉和氧化鈉的混合物跟98g水充分反應(yīng)后，所得的氫氧化鈉溶液的質(zhì)量分數(shù)為50%。試分別寫出過氧化鈉和氧化鈉跟水反應(yīng)的化學方程式，并計算混合物中過氧化鈉和氧化鈉的質(zhì)量各為多少g？

思路分析：設(shè)混合物中Na₂O₂物質(zhì)的量為x，Na₂O物質(zhì)的量為y，則有：

2Na₂O₂+2H₂O=4NaOH+O₂↑　　　 Na₂O+H₂O=2NaOH

　 x　　　　　 2x　　 x/2　　　　 y　　　　　 2y

　　　　　　　　 78g/mol x+62g/mol y=70g

根據(jù)題意得方程組：

　　　　 解得：x=0.5mol　 y=0.5mol　

則：m(Na₂O₂)=0.5mol×78g/mol=39g　　　 m(Na₂O)=0.5mol×62g/mol=31g

答案：2Na₂O₂+2H₂O=4NaOH+O₂↑、Na₂O+H₂O=2NaOH；Na₂O₂：39g、Na₂O：31g

一題多解：上述反應(yīng)式知，Na₂O₂與H₂O反應(yīng)Na₂O₂中既是氧化劑又是還原劑，產(chǎn)生的O₂來自Na₂O₂，相當于2Na₂O₂=2Na₂O+O₂↑；若設(shè)Na₂O₂的物質(zhì)的量X，則混合物與H₂O反應(yīng)可理解為將(70-16X)g Na₂O與H₂O作用。

根據(jù)題意，由鈉離子守恒：

　 得：X=0.5mol。(以下略)

例8　 某天然堿(純凈物)可看作由CO₂和NaOH反應(yīng)后的產(chǎn)物所組成。稱取天然堿樣品四份，溶于水后，分別逐滴加入相同濃度的鹽酸溶液30mL，產(chǎn)生CO₂的體積(標準狀況)如下表：(2000年上海高考題)

(1)由第Ⅰ組數(shù)據(jù)中的CO₂體積與樣品質(zhì)量之比，可以推測用2.49 g樣品進行同樣的實驗時，產(chǎn)生CO₂_________mL(標準狀況)。

(2)另取3.32g天然堿樣品于300℃加熱分解至完全(300℃時Na₂CO₃不分解)，產(chǎn)生CO₂112mL(標準狀況)和水0.45g，計算并確定該天然堿的化學式。

(3)已知Na₂CO₃和HCl(aq)的反應(yīng)分下列兩步進行：

Na₂CO₃+HCl→NaCl+NaHCO₃ 　　　Na₂CO₃+HCl→NaCl+CO₂↑+H₂O

由上表中第Ⅳ組數(shù)據(jù)可以確定所用的HCL(aq)的濃度為　　 mol/L。

(4)依據(jù)上表所列數(shù)據(jù)以及天然堿的化學式，討論并確定上述實驗中CO₂(標準狀況)體積V(mL)與樣品質(zhì)量W(g)之間的關(guān)系式。

思路分析：試題以天然堿的組成及碳酸鹽的性質(zhì)為依托，構(gòu)筑一道有層次、有深度且思維容量較大的計算題。對信息的理解能力、對數(shù)據(jù)的觀察和處理能力是解答本題的關(guān)鍵。

(1)(672 mL/3.32 g)×2.49 g=504 mL。

(2)由題意可知，天然堿含NaHCO₃、Na₂CO₃。

n(NaHCO₃)=2n(CO₂)=2×(112/22400)mol=0.01mol　 n(Na₂CO₃)=(672/22400)mol-0.01mol=0.02mol　 n(H₂O)=[(0.45g-(112/22400)mol×18mol)/18mol=0.02mol

所以天然堿組成為2Na₂CO₃.NaHCO₃.2H₂O(式量332)。

(3)7.47 g樣品中：n(Na₂CO₃)=(7.47 g/332 g.mol^-1)×2=0.045 mol，則：

Na₂CO₃完全生成NaHCO₃消耗HCl：0.045 mol；生成672mLCO₂消耗HCl：672 mL/22400 mL.mol^-1=0.03 mol。故c(HCl)=(0.045 mol+0.03 mol)/0.030 L=0.025 mol/L。

(4)30ml鹽酸中n(HCl)=0.075mol，設(shè)樣品與HCl反應(yīng)全轉(zhuǎn)化為NaCl，由：

2Na₂CO₃.NaHCO₃+5HCl=5NaCl+3CO₂↑+3H₂O知：需樣品質(zhì)量：(0.075 mol/5)×332 g/mol=4.98 g

　　 設(shè)樣品中Na₂CO₃與HCl反應(yīng)完全轉(zhuǎn)化為NaHCO₃(無CO₂氣體放出)，由：

(2Na₂CO₃.NaHCO₃)+2HCl=2NaCl+3NaHCO₃知：需樣品質(zhì)量：(0.075mol/2)×332 g/mol=12.45g

　　 討論：①0<W≤4.98，HCl過量：V(CO₂)=(W g/332 g.mol^-1×3)×22400 mL.mol^-1=202.4W mL

②4.98≤W≤12.45，Na₂CO₃轉(zhuǎn)化NaHCO₃消耗n(HCl)=(W g/332 g.mol^-1)×2；剩余n(HCl)= 0.075 mol-(W g/332 g.mol^-1)×2，生成CO₂物質(zhì)的量等于剩余HCl物質(zhì)的量，故V(CO₂)=[0.075mol-(W g/332 g.mol^-1×2)]×22400 mL/mol=(1860mL-134.9W) mL

③W≤12.45，HCl全部用于使Na₂CO₃轉(zhuǎn)化NaHCO₃，故V(CO₂)=0。

答案：(1)504　 (2)2Na₂CO₃·NaHCO₃·2H₂O　 (3)2.5　 (4)①0<W≤4.98　 V(CO₂)=202.4W mL或V(CO₂)= (W g/332 g.mol^-1×3)×22400 mL.mol^-1；②4.98≤W≤12.45　 V(CO₂)=1680-134.9W mL或V(CO₂)=[0.075mol-(W g/332 g.mol^-1×2)]×22400 mL/mol；③12.45≤W　 V(CO₂)=0

方法要領(lǐng)：本題是有關(guān)NaHCO₃和Na₂CO₃混合物系列計算，主要考查運用實驗數(shù)據(jù)定量分析問題的能力，其難點主要是在第(4)小題的討論上，關(guān)鍵是抓住鹽酸的量是一個定值，即2.5mol/L×30×10^-3L=0.075mol，由此依據(jù)NaHCO₃、Na₂CO₃與鹽酸的反應(yīng)式求得樣品在不同情況下的用量，從而確定W的取值范圍。

2．注意Na₂O₂跟CO₂和水蒸氣組成的混合氣體反應(yīng)時的先后順序。若先發(fā)生反應(yīng)：2 Na₂O₂+2H₂O=4NaOH+O₂↑，必還發(fā)生2NaOH+ CO₂=Na₂CO₃+H₂O，即應(yīng)先考慮Na₂O₂跟CO₂的反應(yīng)。

1．注意鈉及其化合物溶于水所得溶液濃度的計算中，Na及Na₂O₂溶于水均會產(chǎn)生氣態(tài)物質(zhì)，所得溶液的質(zhì)量應(yīng)是原混合物質(zhì)的質(zhì)量總和減去產(chǎn)生氣體的質(zhì)量。

13．如圖，E是正方形ABCD的邊AD上的動點，F是邊BC延長線上的一點，且BF=EF，AB=12，設(shè)AE=x，BF=y．

(1)當△BEF是等邊三角形時，求BF的長；

(2)求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

(3)把△ABE沿著直線BE翻折，點A落在點處，試探索：△能否為等腰三角形？如果能，請求出AE的長；如果不能，請說明理由．

12．已知：如圖，矩形ABCD中，AB=5，AD=3，E是CD上一點(不與C、D重合)連接AE，過點B作BF⊥AE，垂足為F。

(1)若DE=2，求的值；

(2)設(shè)，① 求關(guān)于之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量的取值范圍；② 問當點E從D運動到C，BF的值在增大還是減�。坎⒄f明理由。

(3)當△AEB為等腰三角形時，求BF的長。

11．如圖，等腰梯形ABCD中，AB = CD，AD//BC，AD = 2，BC = 4，．

如果P是BC上一點，Q是AP上一點，且．

⑴求證：⊿ABP ∽⊿DQA；

⑵當點P在BC上移動時，線段DQ的長度也隨之變化，設(shè)PA = x，DQ = y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍．