Question

如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=2，BC=3，點P是AD上一動點（點P異于A、D兩點），Q是BC上任意一點，連結AQ、DQ，過P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．

（1）填空：△APE∽△　　　　　　，△DPF∽△　　　　　　．

（2）設AP的長為x，△APE的面積為y₁，△DPF的面積為y₂，分別求出y₂和y₁關于x的函數關系式；

（3）在邊AD上是否存在這樣的點P，使△PEF的面積為？若存在求出x的值；若不存在請說明理由．

　

Answer 1

【考點】相似形綜合題．

【分析】（1）根據相似三角形的判定定理證明即可；

（2）根據相似三角形的面積比等于相似比的平方計算即可；

（3）根據題意列出一元二次方程，解方程即可．

【解答】解：（1）∵PE∥DQ，

∴△APE∽△ADQ，

∵PF∥AQ，

∴△DPF∽△DAQ，

故答案為：ADQ；DAQ；

（2）設△ADQ的面積為y，

∴S=×AD×AB=3，

由△APE∽△ADQ得：y₁：y=（）²=，

∴y₁=x²，

同理可得y₂=（3﹣x）²；

（3）∵PE∥DQ，PF∥AQ，

∴四邊形PEQF是平行四邊形，

∴△PEF的面積等于（y﹣y₁﹣y₂）=﹣x²+x

當y=時，則﹣x²+x=，

解這個方程得：x=，

即存在這樣的點P，當x=時是△PEF的面積為．

【點評】本題考查的是相似三角形的知識的綜合運用，掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．