Question

已知：如圖所示，點P， Q分別代表兩個小區(qū)，直線l代表臨近小區(qū)的一條公路．點P到直線l的距離為千米，兩點P、Q所在直線與直線l的夾角為45°，兩小區(qū)P、Q之間的距離為1千米．根據(jù)居民出行的需要，計劃在公路l上的某處設置一個公交車站．考慮到修路的費用問題，希望車站的位置到小區(qū)P和小區(qū)Q的距離之和m最短，請在公路l上畫出車站的位置（用點M表示，保留畫圖痕跡，不寫作法），并求出m的值．

Answer 1

解：如圖，作點P關于直線l的對稱點P’，連接P’Q，交直線l與點M，點M即為所求． …… 2分

如圖，由題意，∠QNM=45°，∠PON=90°，PO=_,

∴ ∠OPN=∠QNM=45°．

∴ ON=OP=_．

∴ PN=3．       

由對稱的性質，得　P’N= PN=3，∠MNP’ =45°．

∴ ∠QNP’=90°．

∵ PQ=1，

∴ NQ=4．

∴ P’Q=5．        …

∵ P’M=PM，

∴ m=PM+QM=P’M+ QM=P’Q=5．