Question

已知：△ABC是正三角形，且邊長為1,點E是直線AB上的一個動點，過點E作BC的平行線交直線AC于點F，將線段EC繞點E旋轉，使點C落在直線BC上的點D處；

（1）當點E在△ABC的邊AB上時，

①求證：AE=BD

②設梯形EDCF的面積為S，當S達到最大值時，求∠ECB的正切值。

(2)當點E不在邊AB上時，由A、D、E、C四點圍成的四邊面積能否為，若能，求出AE長，若不能請說明理由.

Answer 1

方法一:如圖在正ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60^o,AB=BC=AC,

∵EF//BC,

∴∠AEF=∠AFE=60^o=∠BAC,

∴△AEF是正三角形, ………….1分

∴AE=AF=EF,

∴AB-AE=AC-AF,即BE=CF,

又∵∠ABC=∠EDB+∠BED==60^o,

∠ACB=∠ECB+∠FCE==60^o,

∵ED=EC,

∴∠EDB=∠ECB,

∴∠BED=∠FCE,

∴△EDB≌△CEF………….1分

DB=EF,

∴AE=BD………….1分

方法二: :如圖,在正ABC中，∠ABC=∠ACB=60^o∠ABD=120^o,

又∵∠ABC=∠EDB+∠BED,∠ACB=∠ECB+∠FCE,

∵ED=EC,

∴∠EDB=∠ECB,

∴∠BED=∠FCE,

∵EF//BC, ………….1分

∴∠AEF=∠AFE=60^o=∠BAC,

∴△AEF是正三角形, ∠EFC=180^o-∠ACB=120^o,

∴△EDB≌△CEF………….1分

DB=EF,

∴AE=BD………….1分

第（1）小題②

解答:過點E作EH⊥DC于點H,

設AE=x,則s=(EF+DC) ×EH=(x+x+1) ×(1-x) ………….1分

=-x²+x+

當x=時，有最大值；

此時，EB=，則EH=，BH=,CH=,………….1分

tan∠ECB===………….1分

第(2)小題分類討論：當點E在BA延長線上，且AE<1時；當點E在BA延長線上，且AE>1時；當點E在AB延長線上時.共三種情況。

解：當點E不在邊AB上時，由A、D、E、C四點圍成的四邊面積能為，具體解答過程如下：

設AE=x,分以下三種情況討論：

1）當點E在BA延長線上，且AE<1時；由（1）第①同理可得AE=BD,S_{四邊形ADCE}=S_△BCE-S_△BDA=×BE×BC×sin60^o-×BE×BC×sin60^o=×(x+1)×1×sin60^o-x×1×sin60^o=≠，不成立…………2分

2) 當點E在BA延長線上，且AE>1時；S_{四邊形AEDC}=S_△BDE-S_△BAC=×BE×BD×sin60^o-×BA×BC×sin60^o=×(x+1)×x×sin60^o-×1×1×sin60^o=(x²+x-1)

由題意得：(x²+x-1)=

解得：x₁= ,x₁=(舍去) ………….2分

3）當點E在AB延長線上時；S_{四邊形ADECC}=S_△ADC+S_△EDC=×DC×AM+×DC×EN=DC×AE×sin60^o=×(x+1)×x×sin60^o=(x²+x)

得：(x²+x)=  

解得：x₁=5 ,x₂=-6(舍去)

綜上所述，當時AE=或5時，由A、D、E、C四點圍成的四邊面積為�！�……….2分