Question

14．如圖，邊長為1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．連結(jié)對角線AC，以AC為邊作第二個菱形ACEF，使∠FAC=60°．連結(jié)AE，再以AE為邊作第三個菱形AEGH，使∠HAE=60°…按此規(guī)律所作的第2016個菱形的邊長是（$\sqrt{3}$）²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 連接DB于AC相交于M，根據(jù)已知和菱形的性質(zhì)可分別求得AC，AE，AG的長，從而可發(fā)現(xiàn)規(guī)律根據(jù)規(guī)律不難求得第2015個菱形的邊長．

解答 解：連接DB，如圖所示：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB．AC⊥DB，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB是等邊三角形，
∴DB=AD=1，
∴BM=$\frac{1}{2}$，
∴AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AC=$\sqrt{3}$，
同理可得AE=$\sqrt{3}$AC=（$\sqrt{3}$）²，AG=$\sqrt{3}$AE=3$\sqrt{3}$=（$\sqrt{3}$）³，
按此規(guī)律所作的第n個菱形的邊長為（$\sqrt{3}$）^n-1，
則所作的第2016個菱形的邊長為（$\sqrt{3}$）²⁰¹⁵．
故答案為：（$\sqrt{3}$）²⁰¹⁵．

點評 此題主要考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)以及學(xué)生探索規(guī)律的能力，解決本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律．