Question

5．（1）閱讀材料：
教材中的問題，如圖1，把5個邊長為1的小正方形組成的十字形紙板剪開，使剪成的若干塊能夠拼成一個大正方形，小明的思考：因為剪拼前后的圖形面積相等，且5個小正方形的總面積為5，所以拼成的大正方形邊長為$\sqrt{5}$，故沿虛線AB剪開可拼成大正方形的一邊，請在圖1中用虛線補全剪拼示意圖．
（2）類比解決：
如圖2，已知邊長為2的正三角形紙板ABC，沿中位線DE剪掉△ADE，請把紙板剩下的部分DBCE剪開，使剪成的若干塊能夠拼成一個新的正三角形．
①拼成的正三角形邊長為$\sqrt{3}$；
②在圖2中用虛線畫出一種剪拼示意圖．
（3）靈活運用：
如圖3，把一邊長為60cm的正方形彩紙剪開，用剪成的若干塊拼成一個軸對稱的風(fēng)箏，其中∠BCD=90°，延長DC、BC分別與AB、AD交于點E、F，點E、F分別為AB、AD的中點，在線段AC和EF處用輕質(zhì)鋼絲做成十字形風(fēng)箏龍骨，在圖3的正方形中畫出一種剪拼示意圖，并求出相應(yīng)輕質(zhì)鋼絲的總長度．（說明：題中的拼接都是不重疊無縫隙無剩余）

Answer 1

分析 （1）依題意補全圖形如圖1，利用剪拼前后的圖形面積相等，得出大正方形的面積即可；
（2）①先求出梯形EDBC的面積，利用剪拼前后的圖形面積相等，結(jié)合等邊三角形的面積公式即可；
②依題意補全圖形如圖3所示；
（3）依題意補全圖形如圖4，根據(jù)剪拼的特點，得出AC是正方形的對角線，點E，F(xiàn)是正方形兩鄰邊的中點，構(gòu)成等腰直角三角形，即可．

解答 解：（1）補全圖形如圖1所示，

由剪拼可知，5個小正方形的面積之和等于拼成的一個大正方形的面積，
∵5個小正方形的總面積為5
∴大正方形的面積為5，
∴大正方形的邊長為$\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$；
（2）①如圖2，

∵邊長為2的正三角形紙板ABC，沿中位線DE剪掉△ADE，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=1，BD=CE=1
過點D作DM⊥BC，
∵∠DBM=60°
∴DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_梯形EDBC=$\frac{1}{2}$（DE+BC）×DM=$\frac{1}{2}$（1+2）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
由剪拼可知，梯形EDBC的面積等于新拼成的等邊三角形的面積，
設(shè)新等邊三角形的邊長為a，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴a=$\sqrt{3}$或a=-$\sqrt{3}$（舍），
∴新等邊三角形的邊長為$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$；
②剪拼示意圖如圖3所示，

（3）剪拼示意圖如圖4所示，

∵正方形的邊長為60cm，
由剪拼可知，AC是正方形的對角線，
∴AC=60$\sqrt{2}$cm，
由剪拼可知，點E，F(xiàn)分別是正方形的兩鄰邊的中點，
∴CE=CF=30cm，
∵∠ECF=90°，
根據(jù)勾股定理得，EF=30$\sqrt{2}$cm；
∴輕質(zhì)鋼絲的總長度為AC+EF=60$\sqrt{2}$+30$\sqrt{2}$=90$\sqrt{2}$cm．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，剪拼的特點，解本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意補全圖形，難點是剪拼新正三角形和箏形．