Question

【題目】如圖①，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動點(diǎn)以點(diǎn)為圓心，長為半徑作交軸于點(diǎn)，分別交直線于點(diǎn)和點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)．

（1）求直線的函數(shù)解析式和點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖②，連接，當(dāng)時，求證：并求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動時，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）證明見解析；；（3）最大值為．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求出b即可得出直線l表達(dá)式，即可得出結(jié)論；
（2）①先判斷出∠CDF=2∠CDE，進(jìn)而得出∠OAE=∠ODF，即可得出結(jié)論；
②設(shè)出EM=3m，AM=4m，進(jìn)而得出點(diǎn)E坐標(biāo)，即可得出OE的平方，再根據(jù)①的相似得出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出結(jié)論；
（3）利用面積法求出OG，進(jìn)而得出AG，HE，再構(gòu)造相似三角形，即可得出結(jié)論．

解：（1）∵直線與軸交于點(diǎn)，

∴，

∴，

∴直線的函數(shù)解析式，

∴，

（2）①如圖2，連接，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵四邊形是的圓內(nèi)接四邊形，

∴，

∴，

∵，

∴，

②過點(diǎn)作于，

由①知，，

設(shè)，則，

∴，，

∴，，

∴，

由①知，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴（舍）或，

∴，，

∴，

（3）如圖，設(shè)的半徑為，過點(diǎn)作于，

∵，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

連接，

∵是直徑，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴時，最大值為．