Question

8．已知：關(guān)于x的一元二次方程（k-2）x²+2x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）如果k為正整數(shù)，且該方程的兩個(gè)實(shí)根都是整數(shù)，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程的定義以及判別式的意義得出k≠2且△=2²-4×（k-2）×1=12-4k≥0，可確定k的取值范圍；
（2）由k為正整數(shù)，得出k=1或3．再根據(jù)方程（k-2）x²+2x+1=0的兩個(gè)實(shí)根都為整數(shù)，得出△是完全平方數(shù)，求出k=3．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程（k-2）x²+2x+1=0有兩個(gè)實(shí)根，
∴k≠2且△=2²-4×（k-2）×1=12-4k≥0，
∴k≤3且k≠2；

（2）∵k為正整數(shù)，
∴k=1或3．                               
又∵方程（k-2）x²+2x+1=0的兩個(gè)實(shí)根都為整數(shù)，
當(dāng)k=1時(shí)，△=12-4k=8，不是完全平方數(shù)，
∴k=1不符合題意，舍去；   
當(dāng)k=3時(shí)，△=12-4k=0，原方程為x²+2x+1=0，符合題意，
∴k=3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了根的判別式的知識(shí)，熟知一元二次方程的根與△的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵，此題難度不大．