Question

【題目】如圖,已知平面直角坐標(biāo)系中,、,現(xiàn)將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn),連接.

(1)求出直線的解析式；

(2)若動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿線段以每分鐘個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng),過作交軸于,連接.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為分鐘,當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí),求的值.

(3)為直線上一點(diǎn),在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn),使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,若存在,求出此時(shí)的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）t=s時(shí)，四邊形ABMN是平行四邊形；（3）存在，點(diǎn)Q坐標(biāo)為：或或或.

【解析】

（1）如圖1中，作BH⊥x軸于H．證明△COA≌△AHB（AAS），可得BH=OA=1，AH=OC=2，求出點(diǎn)B坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）利用平行四邊形的性質(zhì)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再求出AN，BM，CM即可解決問題．
（3）如圖3中，當(dāng)OB為菱形的邊時(shí)，可得菱形OBQP，菱形OBP1Q1．菱形OBP3Q3，當(dāng)OB為菱形的對角線時(shí)，可得菱形OP2BQ2，點(diǎn)Q2在線段OB的垂直平分線上，分別求解即可解決問題．

（1）如圖1中，作BH⊥x軸于H．

∵A（1，0）、C（0，2），
∴OA=1，OC=2，
∵∠COA=∠CAB=∠AHB=90°，
∴∠ACO+∠OAC=90°，∠CAO+∠BAH=90°，
∴∠ACO=∠BAH，
∵AC=AB，
∴△COA≌△AHB（AAS），
∴BH=OA=1，AH=OC=2，
∴OH=3，
∴B（3，1），

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則有，

解得：，

∴；

（2）如圖2中，

∵四邊形ABMN是平行四邊形，
∴AN∥BM，
∴直線AN的解析式為：，

∴，

∴，

∵B（3，1），C（0，2），
∴BC=，

∴，

∴，

∴t=s時(shí)，四邊形ABMN是平行四邊形；

（3）如圖3中，

如圖3中，當(dāng)OB為菱形的邊時(shí)，可得菱形OBQP，菱形OBP1Q1．菱形OBP3Q3，
連接OQ交BC于E，
∵OE⊥BC，
∴直線OE的解析式為y=3x，

由，解得：，

∴E（，），
∵OE=OQ，
∴Q（，），
∵OQ1∥BC，

∴直線OQ1的解析式為y=-x，
∵OQ1=OB=，設(shè)Q1（m，-），
∴m2+m2=10，
∴m=±3，
可得Q1（3，-1），Q3（-3，1），
當(dāng)OB為菱形的對角線時(shí)，可得菱形OP2BQ2，點(diǎn)Q2在線段OB的垂直平分線上，
易知線段OB的垂直平分線的解析式為y=-3x+5，

由，解得：，

∴Q2（，）．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)為：或或或.