Question

如圖，矩形ABCD中，動點P從點A出發(fā)，沿線段AB以每秒2cm的速度向點B運動：同時動點Q從點B出發(fā)，沿線段BC以每秒1cm的速度向點C運動．當(dāng)點P到達(dá)B點時，點Q同時停止，設(shè)運動時間為t秒．已知AD=6，且t=2時，PQ=2．

（1）AB=8；

（2）連接DQ并延長交AB的延長線于點E，把DE沿DC翻折交BC延長線于點F，連接EF．

①當(dāng)DP⊥DF時，求t的值；

②試證明，在運動過程中，△DEF的面積是定值．

Answer 1

【考點】四邊形綜合題．

【分析】（1）根據(jù)勾股定理得出PB的長，再得出AP的長，進(jìn)而得出AB的長度即可；

（2）①首先證明△ADP∽△CDF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，解出t即可；

②由△EBQ∽△EAD，得，進(jìn)而得到BE=，再根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計算即可．

【解答】解：（1）∵AD=6，且t=2時，PQ=2，

∵動點P從點A出發(fā)，沿線段AB以每秒2cm的速度向點B運動：同時動點Q從點B出發(fā)，沿線段BC以每秒1cm的速度向點C運動，

∴AP=2×2=4，BQ=2×1=2，

∴在Rt△BPQ中，BP=，

∴AB=AP+PB=4+4=8，

故答案為：8；

（2）①∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°，

∵DP⊥DF，

∴∠ADP=∠CDF，

∴△ADP∽△CDF，

∴，

∵AD=6，AP=2t，CD=8，CF=CQ=6﹣t，

∴，

解得t=；

②定值，理由如下：

∵△EBQ∽△EAD，

∴，即，

解得BE=，

∴△DEF的面積=×QF×（DC+BE）=×2（6﹣t）×（8+）=48，

∴△DEF的面積為48．

【點評】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握證明三角形相似的方法和相似三角形的性質(zhì)，再利用三角形的面積公式進(jìn)行計算．