Question

如圖，已知在矩形ABCD中，AB = a，BC = b，點(diǎn)E是線段AD邊上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)A、D），連結(jié)BE、CE．

（1）若a = 5，sin∠ACB =，求的長。（3分）

（2）若a = 5，b=10當(dāng)BE⊥AC時(shí)，求出此時(shí)AE的長．（4分）

（3）設(shè)，試探索點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動過程中，使得△ABE與△BCE相似時(shí)，求a、b應(yīng)滿足什么條件，并求出此時(shí)x的值．（5分）                                                  

             

    

Answer 1

解：（1）① b = 12 ……………………………3分

（2）如圖1，∵BE⊥AC

  ∴∠2 + ∠3 = 90⁰

      又∠1 + ∠3 = 90⁰

∴∠1 = ∠2

又∠BAE = ∠ABC = 90⁰

　∴△AEB ∽△BAC  ………………………5分

　　　∴　即　

∴ ………………………………7分

（3）∵點(diǎn)E在線段AD上的任一點(diǎn)，且不與A、D重合，

∴當(dāng)△ABE與△BCE相似時(shí)，則∠BEC = 90⁰

       所以當(dāng)△BAE ∽△CEB（如圖2）

則∠1 = ∠BCE，

   又BC∥AD

      ∴∠2 = ∠BCE

      ∴∠1 = ∠2

      又∠BAE = ∠EDC = 90⁰

      ∴△BAE ∽△EDC 

         ∴  即　

         ∴  …………………………………9分

         即

         當(dāng)

∵a＞0，b＞0，  ∴

即 時(shí)， ……………………11分

      綜上所述：當(dāng)a、b滿足條件b = 2a時(shí)△BAE ∽△CEB，此時(shí) (或x = a)；

         當(dāng)a、b滿足條件b＞2a時(shí)△BAE ∽△CEB，此時(shí)