Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，l為右準(zhǔn)線，當(dāng)橢圓上存在一點(diǎn)P，使PF₁是點(diǎn)P到直線l的距離的2倍，則橢圓離心率最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d，根據(jù)橢圓的定義可知|PF₂|比d的值等于c比a的值，由題意知|PF₁|等于2d，且|PF₁|+|PF₂|=2a，聯(lián)立化簡得到：|PF₁|等于一個(gè)關(guān)于a與c的關(guān)系式，又|PF₁|大于等于a-c，小于等于a+c，列出關(guān)于a與c的不等式，求出不等式的解集即可得到

c

a

的范圍，即為離心率e的范圍，同時(shí)考慮e小于1，從而得到此橢圓離心率的最小值．

解答： 解：設(shè)P到直線l的距離為d，
根據(jù)橢圓的第二定義得

|PF2|

d

=e=

c

a

，|PF₁|=2d，且|PF₁|+|PF₂|=2a，
則|PF₁|=2a-|PF₂|=2a-

dc

a

=2d，即d=

2a2

2a+c

，
而|PF₁|∈[a-c，a+c]，即2d=

4a2

2a+c

，
所以得到，

4a2 2a+c ≥a-c① 4a2 2a+c ≤a+c②

由①得：（

c

a

）²+

c

a

+2≥0，

c

a

為任意實(shí)數(shù)；
由②得（

c

a

）²+3

c

a

-2≥0，解得

c

a

≥

-3+ 17

2

≥或

c

a

≤

-3- 17

2

（舍去），
即有

-3+ 17

2

≤e＜1．
則e的最小值為

-3+ 17

2

．
故答案為：

-3+ 17

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握橢圓的定義及橢圓簡單性質(zhì)的運(yùn)用，是一道中檔題．