如圖，四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點．

(1)求證：CE∥平面PAD；

(2)求證：平面EFG⊥平面EMN.


[解析]　(1)解法一：取PA的中點H，連接EH，DH.

因為E為PB的中點，

所以EH∥AB，EH＝AB.

又AB∥CD，CD＝AB，所以EH∥CD，EH＝CD.

因此四邊形DCEH是平行四邊形．所以CE∥DH.

又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，

因此CE∥平面PAD.

解法二：連接CF.

因為F為AB的中點，所以AF＝AB.

又CD＝AB，所以AF＝CD.

又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形．

因此CF∥AD.

又CF⊄平面PAD，所以CF∥平面PAD.

因為E、F分別為PB、AB的中點，所以EF∥PA.

又EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.

因為CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.

又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.

(2)證明：因為E、F分別為PB、AB的中點，

所以EF∥PA.

又AB⊥PA，所以AB⊥EF.

同理可證AB⊥FG.

又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，

因此AB⊥平面EFG.

又M、N分別為PD、PC的中點，

所以MN∥CD.

又AB∥CD，所以MN∥AB.

因此MN⊥平面EFG.

又MN⊂平面EMN，

所以平面EFG⊥平面EMN.


練習(xí)冊系列答案
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若圓錐軸截面的頂角θ滿足，則其側(cè)面展開圖中心角α滿足(　　)

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已知直線m、n與平面α、β，下列命題中正確的是(　　)

A．m∥β，α∥β，則m∥α

B．平面α內(nèi)不共線三點到平面β的距離相等，則α∥β

C．α∩β＝m，n⊥m且α⊥β，則n⊥α

D．m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m⊥n

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設(shè)a、b是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則下列命題錯誤的是(　　)

A．若a⊥α，b∥α，則a⊥b

B．若a⊥α，b∥a，b⊂β，則α⊥β

C．若a⊥α，b⊥β，α∥β，則a∥b

D．若a∥α，a∥β，則α∥β

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如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H為BC的中點．

(1)求證：FH∥平面EDB；

(2)求證：AC⊥平面EDB；

(3)求四面體B－DEF的體積．

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下列四個正方體圖形中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是______(寫出所有符合要求的圖形序號)．

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設(shè)a、b為兩條直線，α、β為兩個平面，下列四個命題中真命題是(　　)

A．若a、b與α所成角相等，則a∥b

B．若a∥α，b∥β，α⊥β，則a⊥b

C．若a⊂α，b⊂β，a⊥b，則α⊥β

D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，則a⊥b

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定點A和B都在平面α內(nèi)，定點P∉α，PB⊥α，C是α內(nèi)異于A和B的動點，且PC⊥AC.那么，動點C在平面α內(nèi)的軌跡是(　　)

A．一條線段，但要去掉兩個點

B．一個圓，但要去掉兩個點

C．一個橢圓，但要去掉兩個點

D．半圓，但要去掉兩個點

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已知線段AB、CD分別在兩條異面直線上，M、N分別是線段AB、CD的中點，則MN________(AC＋BD)(填“>”，“<”或“＝”)．

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