Question

如圖，三棱柱ABC­A₁B₁C₁中，CA＝CB，AB＝AA₁，∠BAA₁＝60°.

(1)證明：AB⊥A₁C；

(2)若AB＝CB＝2，A₁C＝，求三棱柱ABC­A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

【解】(1)證明：

取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA₁，A₁B.

因?yàn)?i>CA＝CB，所以OC⊥AB.

由于AB＝AA₁，∠BAA₁＝60°，

故△AA₁B為等邊三角形，

所以OA₁⊥AB.

因?yàn)?i>OC∩OA₁＝O，所以AB⊥平面OA₁C.

又A₁C⊂平面OA₁C，故AB⊥A₁C.

(2)由題設(shè)知△ABC與△AA₁B都是邊長為2的等邊三角形，所以OC＝OA₁＝.

又A₁C＝，則A₁C²＝OC²＋OA，故OA₁⊥OC.

因?yàn)?i>OC∩AB＝O，所以OA₁⊥平面ABC，OA₁為三棱柱ABC­A₁B₁C₁的高．

又△ABC的面積S_△ABC＝，故三棱柱ABC­A₁B₁C₁的體積V＝S_△ABC·OA₁＝3.