Question

已知等比數(shù)列{a_n}滿足a₂a₃a₄=8，且a₂+2，a₃+4，a₄+5構成公差不為零的等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求證：數(shù)列{S_n+

1

2

}是等比數(shù)列．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關系的確定,等比數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件利用等比數(shù)列通項公式和等差數(shù)列性質求出公比，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由a_n=2^n-2．得Sn=

1 2 (1-2n)

1-2

=2^n-1-

1

2

，從而S_n+

1

2

=2^n-1，由此能證明數(shù)列{S_n+

1

2

}是等比數(shù)列．

解答： （Ⅰ）解：∵等比數(shù)列{a_n}滿足a₂a₃a₄=8，且a₂+2，a₃+4，a₄+5構成公差不為零的等差數(shù)列，
∴

a3=2 2(a3+4)=(a2+2)(a4+5)

，
∴

2

q

+2+2q+5=12，
解得q=2或q=

1

2

，
當q=

1

2

時，a₂+2=a₃+4=a₄+5，與題設矛盾，∴q=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=a3qn-3=2•2^n-3=2^n-2．
（Ⅱ）∵a_n=2^n-2．∴Sn=

1 2 (1-2n)

1-2

=2^n-1-

1

2

，
∴S_n+

1

2

=2^n-1，
∴

Sn+1+ 1 2

Sn+ 1 2

=

2n

2n-1

=2，
∴數(shù)列{S_n+

1

2

}是等比數(shù)列．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查等比數(shù)列的證明，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質的合理運用．