Question

一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與x有關(guān)，現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于表中，試建立y與x之間的回歸方程.

溫度x/℃	21	23	25	27	29	32	35
產(chǎn)卵數(shù)y/個	7	11	21	24	66	115	325

Answer 1

思路解析：首先要作出散點圖，根據(jù)散點圖判定y與x之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，再求線性回歸方程.

    在散點圖中，樣本點并沒有分布在某個帶狀區(qū)域內(nèi)，因此兩個變量不呈線性相關(guān)關(guān)系，所以不能直接利用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關(guān)系.根據(jù)已有的函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)樣本分布在某一指數(shù)函數(shù)曲線的周圍.

解：散點圖如下所示:

    由散點圖可以看出:這些點分布在某一條指數(shù)函數(shù)y=pe^qx(p,q為待定的參數(shù))的周圍.現(xiàn)在，問題變?yōu)槿绾喂烙嫶ǖ膮?shù)p和q，我們可以通過對數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系.令z=lny,則變換后樣本點應(yīng)該分布在直線z=bx+a(a=lnp,b=q)周圍.這樣就可以利用線性回歸模型來建立y與x之間的非線性回歸方程了.

由題中所給數(shù)據(jù)經(jīng)變換后得到如下的數(shù)據(jù)表及相應(yīng)的散點圖.

x	21	23	25	27	29	32	35
z	1.946	2.398	3.045	3.178	4.190	4.745	5.784

    由下圖可看出，變換后的樣本點分布在一條直線的附近，因此可以用線性回歸方程來擬合.

    經(jīng)過計算得到線性回歸方程為=0.272x－3.843.因此紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)對溫度的非線性回歸方程為=e^{0.272x－3.843}.

方法歸納  線性回歸問題在解決前可以先畫散點圖，通過散點圖判斷是否為線性回歸，如果不是線性回歸,要先轉(zhuǎn)換為線性回歸問題.