Question

一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān).現(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于表1中，試建立y與x之間的回歸方程.

表1

溫度 x/℃	21	23	25	27	29	32	35
產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)	7	11	21	24	66	115	325

Answer 1

解析：根據(jù)收集的數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖（圖1）.

    在散點(diǎn)圖中，樣本點(diǎn)并沒(méi)有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)，因此兩個(gè)變量不呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，所以不能直接利用線性回歸方程來(lái)建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系.根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí)，可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線y=的周圍，其中c₁和c₂是待定參數(shù).

現(xiàn)在，問(wèn)題變?yōu)槿绾喂烙?jì)待定參數(shù)c₁和c₂.我們可以通過(guò)對(duì)數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系.令z=lny，則變換后樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線z=bx+a(a=lnc₁,b=c₂)的周圍.這樣，就可以利用線性回歸模型來(lái)建立y和x之間的非線性回歸方程了.由表1的數(shù)據(jù)可以得到變換后的樣本數(shù)據(jù)表2，圖2給出了表2中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖.從圖2中可以看出，變換后的樣本點(diǎn)分布在一條直線的附近，因此可以用線性回歸方程來(lái)擬合.

表2

x	21	23	25	27	29	32	35
z	1.946	2.398	3.045	3.178	4.190	4.745	5.784

由表2中的數(shù)據(jù)得到線性回歸方程

=0.272x-3.843.

因此紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)對(duì)溫度的非線性回歸方程為

=e ^0.272x-3.843.(1)

另一方面，可以認(rèn)為圖1中樣本點(diǎn)集中在某二次曲線y=c₃x²+c₄的附近，其中c₃和c₄為待定參數(shù).因此可以對(duì)溫度變量做變換，即令t=x²，然后建立y與t之間的線性回歸方程，從而得到y(tǒng)與x之間的非線性回歸方程.

表3是紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和對(duì)應(yīng)的溫度的平方，圖3是相應(yīng)的散點(diǎn)圖.

表3

t	441	529	625	729	841	1 024	1 225
Y	7	11	21	24	66	115	325

    從圖3中可以看出，y與t的散點(diǎn)圖并不分布在一條直線的周圍，因此不宜用線性回歸方程來(lái)擬合它，即不宜用二次曲線y=c₃x²+c₄來(lái)擬合y和x之間的關(guān)系.這個(gè)結(jié)論還可以通過(guò)殘差分析得到.