Question

一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān),現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列成下表,試建立y與x之間的回歸方程.

溫度x/℃	21	23	25	27	29	32	35
產(chǎn)卵數(shù)y/個	7	11	21	24	66	115	325

Answer 1

解:根據(jù)收集的數(shù)據(jù),作散點(diǎn)圖,如圖.

    從圖中可以看出,樣本點(diǎn)并沒有分布在某個帶狀區(qū)域內(nèi),因此兩個變量不呈線性相關(guān)關(guān)系,所以不能直接利用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關(guān)系,根據(jù)已有的函數(shù)知識,可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線y=c₁的附近,其中c₁、c₂為待定的參數(shù).我們可以通過對數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系,令z=ln y,則變換后樣本點(diǎn)分布在直線z=bx+a(a=ln c₁,b=ln c₂)的附近,這樣可以利用線性回歸建立y與x的非線性回歸方程了.變換的樣本點(diǎn)分布在一條直線的附近,因此可以用線性回歸方程來擬合.

    由上表中的數(shù)據(jù)可得到變換的樣本數(shù)據(jù)表,如下表:

x	21	23	25	27	29	32	35
z	1.946	2.398	3.045	3.178	4.190	4.745	5.784

    可以求得線性回歸直線方程為=0.272x-3.843.

    因此紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)對溫度的非線性回歸方程為=e^0.272x-3.843.另一方面,可以認(rèn)為圖中的樣本點(diǎn)集中在某二次曲線y=c₃x²+c₄的附近,其中c₃,c₄為待定參數(shù),因此可以對溫度變量進(jìn)行變換,即令t=x²,然后建立y與t之間的線性回歸方程,從而得到y(tǒng)與x之間的非線性回歸方程.

    下表是紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和對應(yīng)的溫度的平方的線性回歸模型擬合表,作出相應(yīng)的散點(diǎn)圖,如圖:

t	441	529	625	729	841	1 024	1 225
y	7	11	21	24	66	115	325

從圖中可以看出,y與t的散點(diǎn)圖并不分布在一條直線的周圍,因此不宜用線性回歸方程來擬合它,即不宜用二次函數(shù)y=c₃x²+c₄來擬合x與y之間的關(guān)系,因此利用=e^0.272x-3.843來擬合效果較好.