Question

已知在正項數列{a_n}中，a₁＝2，點A_n(，)在雙曲線y²－x²＝1上，數列{b_n}中，點(b_n，T_n)在直線y＝－x＋1上，其中T_n是數列{b_n}的前n項和．

(1)求數列{a_n}的通項公式；

(2)求證：數列{b_n}是等比數列；

(3)若c_n＝a_n·b_n，求證：c_n＋1<c_n.

Answer 1

解　(1)由已知點A_n在y²－x²＝1上知，a_n＋1－a_n＝1，

∴數列{a_n}是以2為首項，以1為公差的等差數列，∴a_n＝a₁＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1.

(2)證明：∵點(b_n，T_n)在直線y＝－x＋1上，

∴T_n＝－b_n＋1.①

∴T_n－1＝－b_n－1＋1(n≥2)，②

①②兩式相減得b_n＝－b_n＋b_n－1(n≥2)，

∴b_n＝b_n－1，∴b_n＝b_n－1.

由①，令n＝1，得b₁＝－b₁＋1，∴b₁＝，

∴{b_n}是以為首項，以為公比的等比數列．

(3)證明：由(2)可知b_n＝·^n－1＝.

∴c_n＝a_n·b_n＝(n＋1)·，

∴c_n＋1－c_n＝(n＋2)·－(n＋1)·

＝[(n＋2)－3(n＋1)]＝(－2n－1)<0，

∴c_n＋1<c_n.