Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

+lnx（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求f′（x），得f′（x）=1-

a

x2

+

1

x

=

x2+x-a

x2

，再由-a入手，討論f′（x）的正負(fù)，從而的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）應(yīng)用第（1）問(wèn)的結(jié)論，只要保證函數(shù)f（x）在（1，+∞）上遞增即可．

解答： 解：（1）f′（x）=1-

a

x2

+

1

x

=

x2+x-a

x2

，x∈（0，+∞）
當(dāng)a≤0時(shí)，-a≥0，∴x²+x-a＞0，∴f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＞0時(shí)，方程x²+x-a=0的兩根分別為x₁=

-1- 1+4a

2

與x₂=

-1+ 1+4a

2

，不難看出x₂＞0，
∵x＞0，∴當(dāng)0＜x＜

-1+ 1+4a

2

時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞

-1+ 1+4a

2

時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
綜上知：當(dāng)a≤0時(shí)，（0，+∞）是f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
當(dāng)a＞0時(shí)，（0，

-1+ 1+4a

2

）是f（x）的單調(diào)減區(qū)間；，（

-1+ 1+4a

2

，+∞）是f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，由（1）知（0，+∞）是f（x）的單調(diào)增區(qū)間，∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＞0時(shí)，由（1）知（

-1+ 1+4a

2

，+∞）是f（x）的單調(diào)增區(qū)間，∴

-1+ 1+4a

2

≤1，解得a≤2，
綜上：a≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，在判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)時(shí)要靈活多變．