Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，且點(1，

3

2

)在該橢圓上
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的左焦點F₁的直線l與橢圓相交于A，B兩點，若△AOB的面積為

6 2

7

，求圓心在原點O且與直線l相切的圓的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出橢圓的標準方程，根據(jù)離心率求得a和c關(guān)系，進而根據(jù)a²=b²+c²，求得a和b的關(guān)系，把點C坐標代入橢圓方程求得a，進而求得b，則橢圓方程可得．
（2）先看當l與x軸垂直時，可求得A，B的坐標，進而求得三角形AOB的坐標，不符合題意；再看直線l斜率存在時，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），進而求得x₁+x₂和x₁x₂的表達式，進而表示出|AB|，進而求得圓的半徑后表示出三角形AOB的面積，求得k，進而求得圓的半徑，則圓的方程可得．

解答： 解：（1）由題意，

c a = 1 2 1 a2 + 9 4 b2 =1

，
∴a=2，b=

3

，c=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1----（4分）
（2）當直線l⊥x軸時，△AOB的面積為

3

2

，不符合題意；
當直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為：y=k（x+1），k≠0
代入橢圓方程，消去y，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0聯(lián)立，韋達定理，△＞0顯然成立----------（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
x₁+x₂=-

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

∴|AB|=

12(k2+1)

3+4k2

----------（8分）
∴S△AOB=

6|k| 1+k2

3+4k2

=

6 2

7

，即17k⁴+k²-18=0，k²=1…（10分）
∴r=

2

2

，∴圓的方程為x2+y2=

1

2

…(12分)

點評：本題主要考查橢圓的方程和幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，以及弦長公式，考查運算能力．