Question

如圖，三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，CA＝CB，AB＝AA₁，∠BAA₁＝60°.

(1)證明：AB⊥A₁C；

(2)若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB＝CB＝2，求直線A₁C 與平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

 (1)取AB中點O，連接CO，A₁B ，A₁O，

∵AB＝AA₁，∠BAA₁＝60°，∴△BAA₁是正三角形，

∴A₁O⊥AB，

∵CA＝CB，∴CO⊥AB，

∵CO∩A₁O＝O，∴AB⊥平面COA₁，

∴AB⊥A₁C.

(2)由(1)知OC⊥AB，OA₁⊥AB，

又∵平面ABC⊥平面ABB₁A₁，平面ABC∩平面ABB₁A₁＝AB，∴OC⊥平面ABB₁A₁，∴OC⊥OA₁，

∴OA，OC，OA₁兩兩相互垂直，以O為坐標(biāo)原點，的方向為x軸正方向，||為單位長度，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O－xyz，

由題設(shè)知A(1,0,0)，A₁(0，，0)，C(0,0，)，B(－1，0,0)，

則

設(shè)n＝(x，y，z)是平面CBB₁C₁的法向量，

則

可取n＝(，1，－1)，

∴直線A₁C與平面BB₁C₁C所成角的正弦值為.