Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)有極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，若在，處導(dǎo)數(shù)相等，證明：；

（3）若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)存在穿過(guò)型零點(diǎn)求解；

（2）由得出，利用基本不等式得出，然后計(jì)算可得證；

（3）轉(zhuǎn)化為，通過(guò)研究的單調(diào)性、極值得出的兩個(gè)零點(diǎn)的范圍，不妨設(shè)不妨設(shè)，然后分類(lèi)討論，若，則結(jié)論成立；

若，即時(shí)，構(gòu)造新函數(shù)，，通過(guò)導(dǎo)數(shù)（需兩次求導(dǎo)）得出的單調(diào)性，由的關(guān)系：．可證得結(jié)論，

解：（1）由題意知，

因?yàn)?/span>有極值，所以當(dāng)，有解，所以.

（2）證明：，由，

得，

即，

因?yàn)?/span>，且，

所以，得，

則.

（3）證明：，

即，令，則，

則函數(shù)在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增，.

令，其中，

則，

當(dāng)時(shí)，，故，

從而當(dāng)時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，

不妨設(shè)，

若，則結(jié)論成立；

若，即時(shí)，

令，，

則，

令，則，

∴在上單調(diào)遞增，

則，

∴在上單調(diào)遞減，

∴，

即在上恒成立，

∴，

∵，，

而在上單調(diào)遞增，

∴，即．