Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，圓，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，直線的極坐標(biāo)方程為，直線交圓于兩點(diǎn)，為中點(diǎn).

（1）求點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程；

（2）若，求的值.

Answer 1

【答案】(1) ，．(2) 或．

【解析】

(1)聯(lián)立極坐標(biāo)方程,利用為中點(diǎn)與韋達(dá)定理分析求解即可.

(2)根據(jù)極經(jīng)的幾何意義分別表示,再利用韋達(dá)定理求關(guān)于的方程求解即可.

解法一：（1）圓的極坐標(biāo)方程為

將代入得：

，

成立，

設(shè)點(diǎn)對應(yīng)的極徑分別為，

所以，

所以，

所以點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為，．

（2）由（1）得，

，

所以，，

又，所以或，

即或

解法二：

（1）因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，

所以于，

故的軌跡是以為直徑的圓（在的內(nèi)部），

其所在圓方程為：，

即.

從而點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為，．

（2）由（1）得，

，

令，因?yàn)?/span>，所以，

則，

所以，所以，

即，解得（舍去），

所以，

又，，

所以或，

即或．