Question

已知集合M={x|f（x）-x=0，x∈R}與集合N={x|f[f（x）]-x=0，x∈R}，其中f（x）是一個二次項系數(shù)系數(shù)為1的二次函數(shù)．
（1）判斷M與N的關系；
（2）若M是單元素集合，求證：M=N．

Answer 1

考點：集合的包含關系判斷及應用

專題：集合

分析：（1）容易得到，任意的x∈M，都有x∈N，所以M⊆N，并且可說明，若0是N的元素，則0可以不是M的元素，所以M?N；
（2）假設集合M只含一個元素x₁，由（1）知x₁也是N的元素，除x₁外假設N還有一個元素x₂，然后推導出矛盾即可說明不存在x₂∈N，即N只有一個元素x₁，所以M=N．

解答： 解：（1）對于任意的x∈M，則f（x）=x，∴f[f（x）]-x=f（x）-x=0；
即任意的x∈M，都有x∈N，∴M⊆N；
若設0∈N，設f（x）=x²+bx+c，f（0）=c，f[f（0）]=f（c）=c（c+b+1），可以讓c+b+1=0，而c≠0；
即f[f（0）]=0，而f（0）≠0，∴0∉M；
∴M?N；
（2）證明：設x₁∈M，x₁∈N，x₂∈N，f（x₂）=t；
則：f[f（x₂）]-x₂=0，即f（t）-x₂=0，f（t）=x₂；
∵M是單元素集合，所以x₁是方程：f（x）-x=x²+（b-1）x+c=0的唯一實根；
令g（x）=x²+（b-1）x+c，則該函數(shù)值域為[0，+∞），只有x=x₁時，g（x）=0；
則由f（x₂）=t得，x22+bx2+c=t，∴x22+(b-1)x2+c=t-x2＞0，即t＞x₂；
由f（t）=x₂得，t²+bt+c=x₂，∴t²+（b-1）t+c=x₂-t≥0，即x₂≥t；
∴t＞x₂和x₂≥t不可能，即x₂∉N，即M，N都只有一個元素x₁；
∴M=N．

點評：考查復合函數(shù)的概念，子集的概念，真子集的概念，二次函數(shù)的值域．