Question

已知點(diǎn)P是拋物線y²=-8x上一點(diǎn)，設(shè)P到此拋物線準(zhǔn)線的距離是d₁，到直線x+y-10=0的距離是d₂，則d₁+d₂的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)拋物線的方程，得到焦點(diǎn)為F（-2，0），準(zhǔn)線方程是x=2．然后作PQ與垂直準(zhǔn)線，交于點(diǎn)Q，過作PM與直線x+y-10=0垂直，交于點(diǎn)M，可得PQ=d₁，PM=d₂．連接PF，根據(jù)拋物線的定義可得d₁+d₂=PF+PM，因此當(dāng)P、F、M三點(diǎn)共線且與直線x+y-10=0垂直時(shí)，d_l+d₂最小，最后用點(diǎn)到直線的距離公式，可求出這個(gè)最小值．

解答： 解：∵拋物線方程是y²=-8x，
∴拋物線的焦點(diǎn)為F（-2，0），準(zhǔn)線方程是x=2
P是拋物線y²=-8x上一點(diǎn)，過P點(diǎn)作PQ與準(zhǔn)線垂直，垂足為Q，
再過P作PM與直線x+y-10=0垂直，垂足為M
則PQ=d₁，PM=d₂
連接PF，根據(jù)拋物線的定義可得PF=PQ=d₁，所以d₁+d₂=PF+PM，
可得當(dāng)P、F、M三點(diǎn)共線且與直線x+y-10=0垂直時(shí)，d_l+d₂最�。�（即圖中的F、P₀、M₀位置）
∴d_l+d₂的最小值是焦點(diǎn)F到直線x+y-10=0的距離，
即（d_l+d₂）_min=

|-2+0-10|

1+1

=6

2

．
故答案為：6

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題借助于求拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到兩條定直線的距離之和的最小值問題，考查了拋物線的定義與簡單幾何性質(zhì)和點(diǎn)到直線距離公式等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．