如圖(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分別為AC,AB的中點,點F為線段CD上的一點,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1FCD,如圖(2).

(1)求證:DE∥平面A1CB.

(2)求證:A1FBE.

(3)線段A1B上是否存在點Q,使A1C⊥平面DEQ?說明理由.


 (1)證明:∵DE分別為AC,AB的中點,∴DEBC.

DE⊄平面A1CB,∴DE∥平面A1CB.

(2)證明:由已知得ACBCDEBC,

DEAC.

DEA1D,DECD.

DE⊥平面A1DC.

A1F⊂平面A1DC,∴DEA1F.

A1FCD,

A1F⊥平面BCDE.∴A1FBE.

(3)解析:線段A1B上存在點Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下:如下圖,分別取A1C,A1B的中點P,Q,則PQBC.

DEBC,∴DEPQ.∴平面DEQ即為平面DEP.

由(2)知,DE⊥平面A1DC,∴DEA1C.

P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點,∴A1CDP.∴A1C⊥平面DEP.從而A1C⊥平面DEQ.

故線段A1B上存在點Q,使得A1C⊥平面DEQ.


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