Question

已知各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn,滿足8Sn=+4an+3(n∈N*),且a1,a2,a7依次是等比數列{bn}的前三項.

(1) 求數列{an}及{bn}的通項公式;

(2) 是否存在常數a>0且a≠1,使得數列{an-logabn}(n∈N*)是常數列?若存在,求出a的值;若不存在,說明理由.

Answer 1

 (1) 當n=1時,8a1=+4a1+3,a1=1或a1=3.

當n≥2時,8Sn-1=+4an-1+3,an=Sn-Sn-1=(+4an--4an-1),

從而(an+an-1)(an-an-1-4)=0.

因為{an}各項均為正數,所以an-an-1=4.

所以,當a1=1時,an=4n-3;當a1=3時,an=4n-1.

又因為當a1=1時,a1,a2,a7分別為1,5,25,構成等比數列,

所以an=4n-3,bn=5n-1.

當a1=3時,a1,a2,a7分別為3,7,27,不構成等比數列,舍去.綜上,an=4n-3,bn=5n-1.

(2) 由(1)知,an=4n-3,bn=5n-1,從而

an-logabn=4n-3-loga5n-1=4n-3-(n-1)loga5=(4-loga5)n-3+loga5.

由題意,得4-loga5=0,所以a=.所以,滿足條件的a存在,a=.