Question

函數(shù)f（x）=

ax+b

x2+1

是定義在R上的奇函數(shù)，且f（1）=

1

2

．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性，并用定義證明判斷出的結(jié)論；
（3）判斷f（x）有無最值？若有，求出最值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)f（x）=

ax+b

x2+1

為奇函數(shù)，且f（1）=

1

2

，可得 f（-1）=-

1

2

，從而得到關(guān)于a、b的方程組，解之即可；
（2）直接利用單調(diào)性的定義即可證明；
（3）利用判別式求值域．

解答： 解：（1）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，∴f（0）=b=0
又f（1）=

a

2

=

1

2

，
則a=1，故a=1，b=0
（2）證明：在區(qū)間（-1，1）上任取x₁，x₂，令-1＜x₁＜x₂＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

；
∵-1＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，1+x₁²＞0，1+x₂²＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)．
（3）令y=f（x），由于其定義域?yàn)镽
則關(guān)于x的方程yx²-x+y=0有任意實(shí)數(shù)根，即△=1-4y²
那么-

1

2

≤y≤

1

2

，且f（-1）=-

1

2

，f（1）=

1

2

故f（x）_min=f（-1）=-

1

2

，f（x）_max=f（1）=

1

2

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的性質(zhì)應(yīng)用，著重考查學(xué)生理解函數(shù)奇偶性與用定義證明單調(diào)性及解方程，解不等式組的能力，屬于中檔題．