Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若時(shí)，關(guān)于的方程有唯一解，求的值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析 (Ⅱ) ．

【解析】試題分析：(1)首先函數(shù)的定義域要求x>0，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，針k為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況考查導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，借助導(dǎo)數(shù)的正負(fù)說(shuō)明函數(shù)的增減性；（2）當(dāng)k=2014時(shí)，寫(xiě)出函數(shù)f(x)的表達(dá)式，使關(guān)于的方程有唯一解，只需有唯一根，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)，令，得，研究函數(shù)個(gè)g(x)在 上的單調(diào)性和和g(x)的極小值，由于有唯一解，則要求則根據(jù)兩式的結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)可構(gòu)造函數(shù)，由于 h(x)在上單增且，說(shuō)明中的，從而解得 .

試題解析：

(Ⅰ) 由已知得x＞0且．

當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)， ，則f(x)在(0,+ )上是增函數(shù);

當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，則．

所以當(dāng)x 時(shí)， ，當(dāng)x 時(shí)， ．

故當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，f (x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

(Ⅱ) 若，則．

記， ,

若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；

令,得．

因?yàn)?/span>，所以（舍去），．

當(dāng)時(shí)， ， 在是單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)， ， 在上是單調(diào)遞增函數(shù)．

當(dāng)x=x2時(shí), ， ．因?yàn)?/span>有唯一解，所以．

則 即設(shè)函數(shù)，

因?yàn)樵?/span>x>0時(shí)，h (x)是增函數(shù)，所以h (x) = 0至多有一解．

因?yàn)?/span>h (1) = 0，所以方程(*)的解為x 2 = 1，從而解得